Доказательство

Согласно условию $\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}$ для любого $n\geq n_{0}$, любого $p \in N$ и для каждого $x \in \varepsilon$ выполняется неравенство $\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}$. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$ следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x) \right | < \varepsilon$, и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве $E$.

Абсолютная сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)$ для каждого $x \in \varepsilon$ следует из правого неравенства $\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}$

Доказательство

Воспользуемся оценкой $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)$, полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие $a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E$ означает, что $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M$, $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)$ и $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{4M}$ следует, что для всех $n \geq N_{\varepsilon}$, для всех $p \in N$ и для всех $x \ in E$ выполняется неравенство $\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x) \right | < \varepsilon$, и в силу критерия Коши ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$.

Доказательство

Обозначим $B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x)$. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ удовлетворяет условию Коши, т.е. $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M$ и $\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{3M}$, получаем $\left | \sigma \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right |< \varepsilon$, и по критерию Коши ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ сходится равномерно на множестве $E$.

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$, что для всех $n > n_{\varepsilon}$ и всех $x \in X$ выполняется неравенство $\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| n_{\varepsilon}$ будем иметь $\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon$, а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия $\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0$.

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из $\bar{R}$, для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $n_{\varepsilon}$, что для всех $n > n_{\varepsilon}$ выполняется неравенство $\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon$.