Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Признак Вейерштрасса

Если для функционального ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] можно указать такой сходящийся числовой ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}[/latex], что для всех [latex]n\geq n_{0}[/latex] и для всех [latex]x \in \varepsilon[/latex] выполняется условие [latex]\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}[/latex] то ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] сходится абсолютно и равномерно на множестве [latex]E [/latex]

Доказательство

Согласно условию [latex]\left | u_{n}(x) \right |\leq a_{n}[/latex] для любого [latex]n\geq n_{0}[/latex], любого [latex]p \in N[/latex] и для каждого [latex]x \in \varepsilon[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}[/latex]. Из сходимости ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{n}[/latex] следует, что для него выполняется условие Коши, т.е. [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a}_{k} 0 \exists N_{\varepsilon} : \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}{u}_{k}(x) \right | < \varepsilon [/latex], и в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда этот ряд сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Абсолютная сходимость ряда [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u}_{n}(x)[/latex] для каждого [latex]x \in \varepsilon[/latex] следует из правого неравенства [latex]\left | \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}\left | u_{k}(x)\right |\leq \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}[/latex]

Признак Дирихле

Ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex], если выполняются условия:

  • последовательность [latex]\left \{B_{n} (x) \right \}[/latex], где [latex]B_{n} (x) = \sum\limits_{n}^{k = 1}b_{k}(x)[/latex], равномерно ограничена на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex]\exists M > 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M[/latex]
  • последовательность [latex]\left \{a_{n} (x) \right \}[/latex] монотонна на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex] \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow a_{n+1} (x) \leq a_{n} (x)[/latex] и равномерно стремится к нулю, т.е. [latex]a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E[/latex]

Доказательство

Воспользуемся оценкой [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)[/latex], полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов. Условие [latex]a_{n}(x) \underset{\rightarrow}{\rightarrow} 0, x \in E[/latex] означает, что [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | 0: \forall x \in E \forall n \in N \rightarrow \left |B_{n} \right | \leq M[/latex], [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right | \leq 2M(\left |a_{n+1}(x) \right | + \left |a_{n+p}(x) \right |)[/latex] и [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon} \forall x \in E \rightarrow \left |a_{k}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{4M}[/latex] следует, что для всех [latex]n \geq N_{\varepsilon}[/latex], для всех [latex]p \in N[/latex] и для всех [latex]x \ in E[/latex] выполняется неравенство [latex]\left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}(x)b_{k}(x) \right | < \varepsilon[/latex], и в силу критерия Коши ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Признак Абеля

Ряд [latex]\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a}_{k}(x) b_{k}(x) [/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex], если выполняются условия:

  • ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex];
  • последовательность [latex]\left \{a_{n} (x) \right \}[/latex] монотонна на множестве [latex]E[/latex], т.е. [latex]\forall n \in N \forall x \in E \rightarrow a_{n+1}(x)\leq a_{n}(x)[/latex] и равномерно ограничена, т.е.[latex]\exists M > 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M[/latex]

Доказательство

Обозначим [latex]B_{j}^{(n)}(x) = \sum\limits_{k=n+1}^{n+j}b_{k}(x)[/latex]. Тогда ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] удовлетворяет условию Коши, т.е. [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | 0: \forall n \in N \forall x \in E \rightarrow \left |a_{n}(x) \right |\leq M[/latex] и [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in N \rightarrow \left | B_{j}^{(n)}(x) \right | < \frac{\varepsilon}{3M}[/latex], получаем [latex]\left | \sigma \right | 0 \exists N_{\varepsilon}: \forall p \in N \forall x \in E \rightarrow \left |\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k}(x)b_{k}(x) \right |< \varepsilon[/latex], и по критерию Коши ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]E[/latex].

Список литературы:

Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

Вопросы для усвоения темы :»Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле»


Таблица лучших: Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть заданы последовательность функций [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] и функция [latex]f[/latex], определенные на множестве [latex]X[/latex]. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на множестве [latex]X[/latex], если для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что если [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex], то для всех [latex]x \in X[/latex] выполняется неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

Последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] называется равномерно сходящейся на множестве [latex]X[/latex], если существует функция [latex]f[/latex], к которой она равномерно сходится на [latex]X[/latex].

Очевидно, что если последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] равномерно сходится к функции [latex]f[/latex] на множестве [latex]X[/latex], то она и просто сходится к этой функции на [latex]X[/latex].

Если последовательность [latex]\left\{f_{n} \right\}[/latex] сходится на множестве [latex]X[/latex] к функции [latex]f[/latex], то символически будем записывать это так: [latex]f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f[/latex].

Если же эта последовательность равномерно сходится на [latex]X[/latex] к функции [latex]f[/latex], то будем писать: [latex]f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f[/latex].

Заметим, что если последовательность [latex]f_{n}\left(x \right) \in C, n = 1,2,…[/latex] просто сходится к функции [latex]f[/latex] на множестве [latex]X[/latex], то это означает, что для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] и любого [latex]x \in X[/latex] существует номер [latex]n_{0} = n_{0}\left(\varepsilon ,x \right)[/latex], зависящий как от [latex]\varepsilon[/latex], так и от [latex]x[/latex], такой, что для всех номеров [latex]n > n_{0}[/latex] имеет место неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

my

Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно выбрать такой номер [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex], зависящий только от заданного [latex]\varepsilon[/latex] и не зависящий от выбора точки [latex]x \in X[/latex], что при [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex] будет выполняться всюду на множестве [latex]X[/latex], т.е. «графики» функций [latex]f_{n}[/latex] расположены в «[latex]\varepsilon[/latex] — полоске» , окружающей график функции [latex]f[/latex](рис. 1).

Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] при всех достаточно больших [latex]n[/latex](а именно при [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex]) значение функций [latex]f_{n}[/latex] приближают функцию [latex]f[/latex] с погрешностью, меньшей [latex]\varepsilon[/latex], сразу на всем множестве [latex]X[/latex].

Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве [latex]X[/latex] последовательностей с помощью символов существования и всеобщности:

[latex]f_{n}\underset{x}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\forall\varepsilon > 0 \forall x \in X \exists n_{\varepsilon } \forall n > n_{\varepsilon }:\left | f_{n}\left ( x \right ) — f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon[/latex]
[latex]f_{n}\underset{\underset{x}{\rightarrow}}{\rightarrow}f\overset{def }{\Leftrightarrow }\exists n_{\varepsilon } \forall x \in X \forall n \forall n_{\varepsilon }: \left | f_{n}\left ( x \right ) — f \left ( x \right ) \right | < \varepsilon[/latex]

Пример

Последовательность [latex]1,x, x^{2},…,x^{n},…[/latex] на отрезке [latex]\left[0, q \right], 0 < q < 1[/latex], сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если [latex]0 \leq x \leq q[/latex] то [latex]0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,… [/latex].

Так как [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n} = 0[/latex], то для любого фиксированного [latex]\varepsilon > 0 [/latex] существует такое [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]q^{n} n_{\varepsilon}[/latex]. В силу неравенства [latex]0 \leq x ^{n}\leq q^{n}, n = 1,2,… [/latex], [latex]0 \leq x^{n} n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in \left[0, q \right][/latex].

Теорема

Последовательность функций [latex]\left\{f_{n} \right\}[/latex], определенных на множестве [latex]X[/latex], равномерно сходится на этом множестве к функции [latex]f[/latex] в том и только том случае, когда [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex].

Доказательство

Если соблюдены все условия сходимости функциональных последовательностей, то для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in X[/latex] выполняется неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| n_{\varepsilon}[/latex] будем иметь [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| \leq \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon [/latex], а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex].

Обратное: Если данное условие выполнено, то, по определению конечного предела последовательности элементов из [latex]\bar{R}[/latex], для любого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такой номер [latex]n_{\varepsilon}[/latex], что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] выполняется неравенство [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex].

Отсюда следует, что для всех [latex]n > n_{\varepsilon}[/latex] и всех [latex]x \in X[/latex] справедливо неравенство [latex]\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| < \varepsilon [/latex], т.е. выполняются условия определения.

В силу того, что почти все члены последовательностей верхних граней [latex]\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right), n = 1,2,… \right| [/latex], для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\underset{x \in X}{\sup}\left|f_{n}\left(x \right) — f\left(x \right)\right| = 0[/latex], по существу, сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходимости числовой последовательности.

Список литературы:

Тест по теме «Равномерная сходимость функциональных последовательностей»


Таблица лучших: Равномерная сходимость функциональных последовательностей

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата


Задача из журнала «Квант»(2007,№4)

Условие

На сторонах [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex], [latex]CD[/latex] и [latex]AD[/latex] квадрата [latex]ABCD[/latex] выбраны, соответственно, точки [latex]P[/latex], [latex]M[/latex], [latex]N[/latex], [latex]Q[/latex] так, что [latex]\angle MAN =45^{o}[/latex], [latex]PM||AN[/latex], [latex]AN||NQ[/latex]. Отрезок [latex]PQ[/latex] пересекает [latex]AM[/latex] и [latex]AN[/latex] в точках [latex]F[/latex] и [latex]G[/latex] соответственно. Докажите что площадь треугольника [latex]AFG[/latex] равна сумме площадей треугольников [latex]FMP[/latex] и [latex]GNQ[/latex].

Решение

2026
Прежде всего отметим, что [latex]\angle PMA = \angle MAN = \angle ANQ[/latex], и значит, треугольники [latex]AFG[/latex], [latex]MFP[/latex] и [latex]NQG[/latex] подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству [latex]GF^{2} = PF^{2} + GQ^{2}[/latex]. Далее, треугольники [latex]NQD[/latex] и [latex]MPB[/latex] подобны треугольникам [latex]AMB[/latex] и [latex]AND[/latex] соответственно, следовательно, [latex]\frac{QD}{ND}=\frac{BM}{AB}, \frac{ND}{AD}=\frac{BP}{BM}[/latex]. Перемножив эти равенства, получим, что [latex]BP = DQ[/latex], или [latex]AP = AQ[/latex]. Пусть [latex]X[/latex] — точка, симметричная [latex]P[/latex] относительно [latex]AM[/latex]. Тогда [latex]AX = AP = AQ[/latex] и [latex]\angle XAN =45^{o} — \angle MAP = \angle NAD[/latex], т.е. [latex]X[/latex] также симметрична [latex]Q[/latex] относительно [latex]AN[/latex]. Таким образом, [latex]XF = FP, XG = GQ[/latex] и [latex]\angle XFG + \angle XGF = 360^{o} — 2\angle PFM — 2\angle QGN = 90^{o}[/latex]. Применив к прямоугольному треугольнику [latex]XFG[/latex] теорему Пифагора, получим искомое равенство.