Теорема Больцано – Коши (о корне). Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a, b\right]$ и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда существует точка $c \in \left(a, b\right)$, такая, что $f\left(c\right) = 0$.

Применяем метод деления отрезка пополам и лемму Кантора о вложенных отрезках. Пусть, например, $f\left(a\right)<0<f\left(b\right)$. Обозначим $\left[a_0, b_0\right] \equiv \left[a, b\right]$ и разделим $\left[a_0, b_0\right]$ пополам точкой $c_0 =\displaystyle\frac{a_0+b_0}{2}$. Если $f\left(c_0\right) = 0$, то теорема доказана. В противном случае из двух полученных отрезков $\left[a_0, c_0\right]$ и $\left[c_0, b_0\right]$ выберем такой, что на его концах функция f принимает значения разных знаков. Это будет отрезок $\left[a_1, b_1\right] \equiv \left[a_0, b_0\right]$, если $f \left(c_0\right) > 0$, и $\left[a_1, b_1\right] \equiv \left[c_0, b_0\right]$, если $f \left(c_0\right) < 0$. Заметим, что длина отрезка$\left[a_1, b_1\right]$ равна $b_1 − a_1$ = $\displaystyle\frac{b-a}{2}$. На следующем шаге разделим $\left[a_1, b_1\right]$ пополам и продолжим описанную процедуру. Если на каком-либо шаге встретится точка деления, в которой функция $f$ обращается в нуль, то теорема доказана. В противном случае получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\left[a_n, b_n\right]$, таких, что их длины $b_n − a_n =\displaystyle\frac{b−a}{2^n} \rightarrow 0 \;при\; n \to \infty$. По лемме Кантора, существует точка c, принадлежащая всем $\left[a_n, b_n\right]$. Покажем, что $f\left(c\right) = 0$. Отсюда, в частности, будет следовать, что $c$ не совпадает ни $с\;a$, ни $с\;b$, т. к. $f\left(a\right) \neq 0$ и $f\left(b\right) \neq 0$.
Для доказательства равенства $f\left(c\right) = 0$ покажем, что для всех $n$ справедливо неравенство
$$\begin{equation}\label{eq:exp1}f \left(a_n\right) < 0 < f \left(b_n\right)\end{equation}.$$
Применим индукцию по $n$. При $n = 0$ неравенство $\eqref{eq:exp1}$ совпадает с принятым условием $f\left(a\right)<0<f\left(b\right)$. Предположим, что неравенство $\eqref{eq:exp1}$ справедливо при некотором $n$, и покажем, что оно имеет место и для $n + 1$. Обозначим $c_n =\displaystyle\frac{a_n+b_n}{2}$. Тогда, согласно описанной процедуре отбора сегментов, мы полагаем $\left[a_n+1, b_n+1\right] \equiv \left[a_n, c_n\right]$, если $f \left(c_n\right) > 0$, и $\left[a_n+1, b_n+1\right] \equiv \left[c_n, b_n\right]$, если $f \left(c_n\right) < 0$. Отсюда легко видеть, что неравенство $\left(4.5\right)$ справедливо и при $n + 1$, и тем самым $\eqref{eq:exp1}$ доказано для всех $n = 0, 1, \dotsc.$
Далее, поскольку $a_n \leqslant c \leqslant b_n \left ( n = 0, 1, \dotsc\right )$ и $b_n − a_n \rightarrow 0 \left(n \to \infty \right)$, то $a_n \rightarrow c \left(n \to \infty \right)$ и $b_n \rightarrow c \left(n \to \infty \right)$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $c$, из неравенств $f\left(a_n\right) < 0$ следует, что и $f\left ( c\right ) = \lim_\limits{n \to \infty}f \left(a_n\right) \leqslant 0$.
С другой стороны, поскольку $f \left(b_n\right) > 0$, то и $f\left ( c\right ) = \lim_\limits{n \to \infty}f \left(b_n\right) \leqslant 0$.
Итак, получили, что $f\left(c\right) \leqslant 0$ и $f(c) \geqslant 0$. Отсюда следует, что $f\left(c\right) = 0$.

Теорема. Монотонная на отрезке $\left[a, b\right]$ функция $f$ непрерывна на этом отрезке тогда и только тогда, когда она принимает все промежуточные значения между $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$.