Processing math: 100%

Автор: Георгий Мартынюк

5.6 Правила Лопиталя

Правила Лопиталя
Рассмотрим некоторые теоремы, позволяющие   раскрывать неопределенности  вида [00] и [∞∞] при нахождении пределов  limx→af(x)g(x), где f и g–дифференцируемые функции. Рассмотрим сначала простой случай. Пусть функции f и g дифференцируемые в точке a, f(a)=g(a)=0 и g′(a)≠0. Тогда f(x)=f′(a)(x−a)+ˉo(x−a) и g(x)=g′(a)(x−a)+ˉo(x−a), откуда получаем limx→af(x)g(x)=limx→af′(a)(x−a)+ˉo(x−a)g′(a)(x−a)+ˉo(x−a)==limx→axf′(a)+ˉ0(x−a)x−ag′(a)+ˉ0(x−a)x−a=f′(a)g′(a)


Это означает, что (при выполнении соответствующих условий) предел отношения функций равен отношению их производных.

Перейдя по этим ссылкам, Вы найдете подробную информацию о Первой и Второй теореме Лопиталя :

  1. Первая теорема Лопиталя
  2. Вторая теорема Лопиталя

    3. Литература

5.6.1 Первая теорема Лопиталя

5.6.1 Первая теорема Лопиталя
Следующая теорема содержит правило раскрытия неопределенности вида [00] для случая, когда функции f и g имеют производные в проколотой окрестности точки a, а в самой точке a могут оказаться и недифференцируемыми.

Первая теорема Лопиталя
Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a,b), limx→a+0f(x)=0, limx→a+0g(x)=0 и g′(x)≠0 для всех x∈(a,b). Далее, пусть существует limx→a+0f′(x)g′(x)=A,

где A может быть конечным +∞, −∞ или ∞. Тогда существует limx→a+0f(x)g(x)
и этот предел равен  A.

Доопределим по непрерывности функции f и g в точке a, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда для любого x∈(a,b) в силу теоремы Коши, найдется такая точка ξa∈(a,x), что f(x)g(x)=f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f′(ξx)g′(ξx).


Если мы покажем, что из условий limx→a+0f′(x)g′(x)=A и  ξa∈(a,x) следует, что limx→a+0f′(ξa)g′(ξa)=A, то сразу получим, что и limx→a+0f(x)g(x)=A
Итак, осталось показать, что условие limx→a+0f′(x)g′(x)=A влечет равенство limx→a+0f′(ξa)g′(ξa)=A, где ξa∈(a,x). Пусть A конечно. Тогда для заданного ε>0 найдем такое δ>0, что из условия a<x<a+δ следует неравенство |f′(x)g′(x)−A|<ε.

Но из a<ξx<x следует также, что и a<ξx<a+δ , и поэтому
|f′(ξx)g′(ξx)−A|<ε.

Отсюда следует требуемое равенство
limx→a+0f′(ξx)g′(ξx)=A.

Аналогично, с очевидными изменениями в форме записи, исчерпываются случаи A=+∞, A=−∞ и A=∞.

Замечание. Теорема Лопиталя утверждает, что предел отношения функций равен пределу отношения производных, если последний существует. Однако может оказаться, что предел отношения функций существует, в то время, как предел отношения производных не существует, т. е. обратное теореме Лопиталя утверждение неверно. Приведем соответствующий пример.

Пример. Положим f(x)=x2sin1x, g(x)=x. Ясно, что f(x)g(x)=xsin1x→0(x→0). Но f′(x)=2xsin1x−cos1x,g′(x)=1, так что при  x→0 отношение f′(x)g′(x) не имеет предела, поскольку первое слагаемое в f′(x) стремится к нулю, а cos1x не имеет предела при x→0.

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. limx→01−cos4xx2
    Решение

    |00|=limx→04sin4x2x=limx→016cos4x2=8

  2. limx→0x−sinxx3
    Решение

    limx→01−cosx3x2=limx→0sinx6x=16

  3. limx→0x4x2+2cosx−2
    Решение

    limx→04x32x−2sinx=limx→012x22−2cosx=limx→024x2sinx=12

  4. limx→∞π4−arctg(1−1x)sin1x
    Решение

    limx→∞−11+(1−1x)21x2(cos1x)−1x2=limx→∞11+(1−1x)2cos1x=12

Первая теорема Лопиталя

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Первая теорема Лопиталя».

Литература

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001 (стр. 172-176)
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970 (стр. 601-603)
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003 (стр. 328-330)

M1735. Проекции многогранника

Условие

Выпуклый многогранник имеет шесть вершин — по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что восемь проекций начала координат на грани многогранника принадлежат одной сфере.

Решение


Пусть три вершины многогранника X0,Y0 и Z0 лежат на отрицательных полуосях, а три другие вершины X1,Y1 и Z1 на положительных полуосях, точка O — начало координат. Четыре проекции точки O лежат на гранях многогранника Z1X1Y1, Z1Y1X0, Z1X0Y0 и c Z1Y0X1 — это точки A, B, C и D соответственно. Так как ∠Z1AO=∠Z1CO=∠Z1DO=90∘, то сфера S, построенная на Z1O как на диаметре, содержит точки A, B, C и D. Докажем, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности, т.е. сечению сферы S. Спроектировав эти точки из точки Z1 на ребра многогранника X1Y1, Y1X0 X0Y0 и Y0X1, получим точки A1, B1, C1 и D1, соответственно. Эта проекция — стереографическая, и как только мы докажем, что A1, B1, C1 и D1 принадлежат одной окружности, так сразу убедимся, что точки A, B, C и D тоже принадлежат одной окружности. Заметим, что точки A1, B1, C1 и D1 — это проекции точки O на стороны четырехугольника X1Y1X0Y0 , диагонали которого X1X0 и Y1Y0 перпендикулярны и пересекаются в точке O (см. рисунок). В треугольнике X0Y1X1 отрезок B1A1 антипараллелен стороне X0X1, т.е. ∠Y1B1A1=∠Y1X1X, a ∠Y1A1B1=∠Y1X0X1; аналогичные равенства углов получим в треугольниках Y1X0Y0, X0Y0X1 и Y0X1Y1. После этого простой подсчет покажет, что суммы противоположных углов в четырехугольнике A1B1C1D1 равны по 180∘, т.е. около A1B1C1D1 можно описать окружность. Значит, точки A B, C и D принадлежат одной окружности, а четырехугольник ABCDявляется одной из шести граней многогранника M, восемь вершин которого — это восемь проекций точки O на грани исходного многогранника. Все грани многогранника M (кубоида) являются четырехугольниками, около каждого из которых можно описать окружность. Рассмотрим сферу Q, содержащую две окружности, описанные около двух смежных граней многогранника M. Нетрудно убедиться, что сфера Q содержит все вершины многогранника M.

В. Произволов