Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции f\left( x \right) и g\left(x\right) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g'(x)\neq 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка \xi \in (a,b) такая, что \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

Доказательство

Рассмотрим функцию \varphi(x)=f(x)+\lambda g(x), где число \lambda выберем таким, чтобы выполнялось равенство \varphi (a)=\varphi (b), которое равносильно следующему:
f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0.

Заметим, что g(b)\neq g(a), так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка c\in (a,b) такая, что g'(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0 следует, что \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Так как функция \varphi при любом \lambda непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении \lambda, определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка \xi \in (a,b) такая, что \varphi '(\xi )=0, т.е. f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0, откуда \frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda. Из этого равенства и формулы \lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} следует \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

  1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши (g(x)=x).
  2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений): 1 комментарий

  1. Ссылку «непрерывны на отрезке» лучше перенаправить на материалы данного сайта (т.е. на работу кого-то из Ваших однокурсников)
    Что это за тест, кто был французом? Уберите это пожалуйста. Совершенно неуместно выяснять кто был французом, кто русским, кто евреем, кто чукчей. Это можно на страничку юмора что-то такое написать, или по истории математики, но уж никак не в конечные приращения.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *