Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Теорема об умножении определителей

Теорема об умножении определителей. Определитель произведения двух квадратных матриц порядка n равен произведению определителей этих матриц: det(AB)=det(A)det(B) или полная формула: det(ki=1Ai)=ki=1detAi,Ai(P),i=1,,k.

Для доказательства рассмотрим случай k=2. Допустим заданы две матрицы A=aijMn(P) и B=bijMn(P). Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей C=A0EB размера 2n×2n, определитель которой имеет вид: Δ=|a11a12a1n000a21a22a2n000an1an2ann000100b11b12b1n010b21b22b2n001bn1bn2bnn|
Вычислим Δ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только det(A). Следовательно, Δ=det(A)det(B). Теперь с помощью элементарных преобразований изменим Δ так, что в итоге получим определитель вида |ACEO|. Где C является произведением матриц A и B. Первый столбец умножим на b11 и прибавим к (n+1)-му столбцу, второй на элемент b21 и вновь прибавим к (n+1)-му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы B. Записав подробнее полученный определитель имеем: Δ=|a11a12a1nc11c12c1na21a22a2nc21c22c2nan1an2anncn1cn2cnn100000010000001000| Снова вычислим определитель Δ, разложением по последним n столбцам. В этом случае отличным от нуля минором nго порядка будет определитель матрицы C. Поэтому Δ=detCdet(E)=detC(1)n(1)S1+S2, где S1=2nk=n+1k, a S2=nk=1k. В результате получаем Δ=detC(1)2n(n2+n)=detC. Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: Δ=detC=det(AB)=det(A)det(B).

Замечание Известно, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. ABBA. Но определитель это действительное число, а произведение действительных чисел коммутативно. Следовательно, det(AB)=detAdetB=detBdetA=det(BA)

Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.

Теорема (формула Бине-Коши). Пусть даны две матрицы A и B размеров (m×n) и (n×m) соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если m>n, и равен сумме произведений всех соответствующих миноров m-го порядка мaтрицы A на соответствующие миноры m-го порядка матрицы B, если mn. Миноры матриц A и B одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы A и строках матрицы B с одинаковыми номерами: detAB=γ1<γ2<<γmAγ1<γ2<<γmBγ1<γ2<<γm,
где Aγ1<γ2<<γm — минор матрицы A, составленный из столбцов с номерами γ1<γ2<<γm, и Bγ1<γ2<<γm — минор матрицы B, составленный из строк с номерами γ1<γ2<<γm.

Допустим C=AB, cij=mγ=1aiγbγi. Значит detC=σ(1)σγ1a1γ1bγ1σ(1)γnanγnbγnσ(n)= =mγ1,,γn=1a1γ1annσ(1)σbγ1σ(1)bγnσ(n)=γ1,,γn=1a1γ1anγnBγ1γn. Минор Bγ1γn не равен нулю только в том случае, когда γ1,,γn попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера γ1,,γn. Для любой перестановки τ этих номеров справедливо Bτ(γ1)τ(γn)=(1)τBγ1γn, из чего следует γ1,,γn=1a1γ1anγnBγ1γn=γ1<γ2<<γn(1)τa1τ(1)anτ(n)Bγ1γn= =γ1<γ2<<γmAγ1<γ2<<γmBγ1<γ2<<γm.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

    1. Найти определитель произведения матриц: A=3418,B=2915

      Решение

      Находим определители данных матриц второго порядка: |3416|=18+4=14 и |2715|=107=3. По теореме об определителе произведения матриц получаем: det(AB)=det(A)det(B)=(14)(3)=42. Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц: AB=|3416||2715|=|21423| Следовательно, det(AB)=46+4=42. Результаты совпадают.

    2. Найти определитель матрицы пятого порядка: M=12uvw34xyz003210025300342

      Решение

      Разобьём данную матрицу на 4 блока, M=ABOC где A=1234,
      B=uvwxyz, O=000000, C=321253342.
      Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц). D=ABCD=E2OTOCE2BOE3AOTOE3, где E2,E3 — единичные матрицы соответствующих порядков.
      |AOTOE3|=detA=|A|, |E2OTOC|=detC=|C|.
      Матрица E2BOE3 — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен 1 По теореме об определителе произведения получаем:
      |ABOC|=|E2OTOC| |E2BOE3| |AOTOE3|=|C|1|A|=|A||C| Найдем detA и detC. |1234|=2 |321253342|=15836+30+18=3. Подставляя, получаем, detM=23=6

    3. Представьте в виде определителя произведение определителей: |2111121111211112||4114||3113|
      Решение

      По теореме об определителе ступенчатой матрицы имеем:
      |4114||3113|=|4100140000310013| Предположим A=2111121111211112,B=4100140000310013,
      тогда AB=9644274455755515, по теореме об определителе произведения получаем искомый определитель det(AB)=|9644274455755515|.

Литература

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
  2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра; 5-е изд., стереотипное. ФИЗМАТЛИТ. — 2002. С. 38-39
  3. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры С.138-139
  4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, С.93-95
  5. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с. C. 130-134

Теорема об умножении определителей

Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».

М827. О равновеликих треугольниках

 

Задача из журнала «Квант» (1984 год, 1 выпуск)

Условие

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

  1. Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
  2. Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Решение

Нам понадобится следующая часто применяемая

Лемма. Пусть Р — точка на стороне KL треугольника KLM. Тогда отношение площадей треугольников и равно SMKP:SMPL=|KP|:|PL|. (Для доказательства достаточно заметить, что треугольники MKP и MPL имеют общую высоту проведенную из вершины М (рис. 2).).

Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
  1. Введем обозначения, как  на рисунке 1. Заметим, что треугольники AA0C0 и AA0C1 равновелики (каждый из них составлен из треугольника AA0B0 и одного из из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание AA0, поэтому их вершины C0 и C1 равноудалены от прямой AA0, то есть прямые AA0 и C1C0 параллельны. Аналогично, BB0||A1A0 и CC0||B1B0. Рассмотрим трапецию AA0C0C1 (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке B0, а продолжения боковых сторон — в точке B. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины D и E её оснований AA0 и C1C0. (Действительно, B0 — центр гомотетии треугольников B0AA0 и B0C0C1, а B0 — центр гомотетии треугольников BAA0 и BC1C0). А поскольку эта прямая параллельна A1A0, точка B0 — середина отрезка A1A. По лемме отсюда вытекает,что SAB0C=SB0A1C. Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников AB0A0B1 и CA0C0A1 равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник BC0B0C1 имеет такую же площадь.

    Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синих треугольников.

  2. Площадь красного четырехугольника s=1+5. Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади s, выразим двумя способами отношение |BC1|:|C1A| с помощью леммы:|BC1|:|C1A|=SCBC1:SCC1A=(2s+2):(s+2)=SB0BC1:SB0C1A=(s/2):1.
    (Пояснения здесь требуют только равенство SB0BC1. Как было показано выше, точка E — середина C0C1 (рис. 3). Отсюда, опять-таки пользуясь леммой, легко вывести, что треугольники B0BC1 и B0BC0 равновелики. А вместе они составляют четырехугольник BC0B0C1 площади s). Итак, s удовлетворяет уравнению s22s4=0. откуда s=1+5.
  3. Б. И. Чиник, В. Н. Дубровский