Автор: Колаев Демьян

Подпоследовательности

Определение.

Пусть задана некоторая последовательность {$latex x_n$} и
$latex n_1<n_2<…<n_k<…$
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
$latex {x_n}_1, {x_n}_2,…{x_n}_k…$
называется подпоследовательностью последовательности {$latex x_n$}.

Пример.
Пусть задана последовательность

$latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},..,\frac{1}{n},…$
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},…,\frac{1}{2n-1}…$  $latex (n_1=1,n_2=3,…,n_k=2k-1,…)$;

$latex \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},…,\frac{1}{2^n},…$    $latex (n_1=2,n_2=4,…,n_k=2^k,…)$;

$latex \frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{15},…,\frac{1}{5n},…$  $latex (n_1=5,n_2=10,…,n_k=5^k,…)$;
Но последовательность

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{4},…,\frac{1}{n},…$
уже не является подпоследовательностью последовательности $latex 1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n},…$.

Определение.
Будем писать
$latex x \to +\infty$ $latex (\lim\limits_{x \to \infty }=+ \infty)$
и говорить, что последовательность {$latex x_n$} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа $latex c $ найдется номер $latex N \in \mathbb{N}$, такой что $latex x_{n}>c$ при любом $latex n>N.$
Аналогично даются определения для случая $latex x \to -\infty$,$latex x \to \infty.$

Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть $latex {x_n}=(-1)^{n}.$Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности $latex x_{2k}$ и $latex x_{2k-1}$ сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  $latex {x_n}=(-1)^{n}.$

Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть {$latex x_n$} — некоторая последовательность, а $latex L $ — множество всех её частичных пределов.Тогда $latex supL $ — называется верхним пределом последовательности и обозначается $latex supL=\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{n}.$

Нижний предел:

$latex infL=\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{n}$

Пример 1.

Для последовательности $latex x_{k}=(-1)^{k}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\inf\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)=-1.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(1)=1.$

Пример 2.

Для последовательности $latex x_{k}=-k^{2}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=-\infty.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-k)^{2}=\lim\limits_{n \to \infty}(-n^{2})=-\infty.$

 Литература.

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94

Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

• Квест пройден!

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 2

   Дана последовательность

   $latex 2,1,\frac{2}{3},\frac{1}{2},…,\frac{2}{n},…$

   Какая из следующих последовательностей не является подпоследовательностью данной?

   1)$latex 2,\frac{2}{3},\frac{2}{5},…,\frac{2}{2n-1},…$

   2)$latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{2^{n-1}},…$

   3)$latex 2,\frac{2}{3},1,…,\frac{2}{n}$

   • 1
   • 2
   • 3
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Чему равны частичные пределы последовательности $latex x_{n}=(-1)^{n}$?

   • -1
   • - бесконечность
   • 1
   • + бесконечность
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Заполнить пропуск.

   • (частичным пределом) последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Пусть {$latex x_n$} — некоторая последовательность, а $latex L$ — множество всех её частичных пределов.Тогдa $latex supL$ и $latex infL$ являются соответственно:

Рассмотрим последовательность $latex x_n$$latex = (1+\frac{1}{n})^n$, $latex n \in \mathbb{N}$.

Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.

Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:

$latex (a+b)^n$= $latex a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots + $

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}$.

Полагая, что  $latex a= 1, b= \frac{1}{n}$,  получим:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+$

$latex +\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ … + \frac{n (n-1) (n-2)… (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}= $

$latex = 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots + $

$latex +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).$

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots + $

$latex + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)$

Из равенства $latex (*)$ следует, что с увеличением $latex n $ число положительных слагаемых в правой части увеличивается.

Кроме того, при увеличении $latex n$ число $latex \frac{1}{n}$ — убывает,

поэтому величины $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex \cdots$ возрастают.

Поэтому последовательность {$latex x_n$} =  $latex \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}$  — возрастающая, при этом $latex (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)$

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства $latex (*)$ на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.$

Усилим полученное неравенство, заменив числа $latex 3, 4, 5, \cdots, n $, стоящие в знаменателях дробей, числом $latex 2$:

$latex (1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).$

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$latex 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.$

Поэтому: $latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)$
Итак, последовательность ограничена, при этом для $latex n \in \mathbb{N}$ выполняются неравенства $latex (**)$ и $latex (***)$:
$latex 2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.$

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой  $latex e$ :

$latex \lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}$$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= e.$

Определение:

Числом $latex e$ называется предел последовательности $latex x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N},$ т. е. $latex e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.$

Это число иррациональное и приближенно равно $latex e = 2.718281828\cdots$. Логарифмы с основанием $latex e$ называются натуральными и обозначаются $latex \log_{e}x= \ln x.$ Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.

Пример.

Найти предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.$

Решение.

Преобразуем предел:

$latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty}$ $latex (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.$

Литература

1. Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
2. Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.

Число е

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Число е

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Что мы используем при доказательстве монотонности последовательности $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$?

   • бином Ньютона
   • метод математической индукции
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4

   Чему равен предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{3x})^{4x} $ ?

   • $$ e^{\frac{1}{3}}$$
   • $$ e^{\frac{4}{3}}$$
   • $$ 0 $$
   • $$ 1 $$
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   По имени кого из ученых названо число $latex e$ в математике?

   • Евклид
   • Эйнштейн
   • Эйлер
   • Эрмит
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Ссылаясь на какую из перечисленных теорем последовательность $latex x_n=(1+\frac{1}{n})^{n}$,$latex n \in \mathbb{N}$ имеет предел?

   • Теорема Больцано-Вейерштрасса
   • Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности
   • Теорема Кантора о вложенных отрезках
   • Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно возрастающей, если $latex \forall n\in\mathbb N:$ $latex x_n \leq x_{n+1}$.

Определение:
Последовательность $latex \left\{x_n\right\}$ называется монотонно убывающей, если [latex]\forall n\in\mathbb N:[/latex] $latex x_n \geq x_{n+1}$

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)

Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup {x_n}$.

Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: $latex \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \inf {x_n}$.

Доказательство:  
Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности $latex \left\{x_n\right\}$. Докажем, что точная верхняя граница $latex a = \sup{x_n}$ для последовательности и будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы: $latex \forall n$ $latex x_n \leq a$.
Кроме того, какое бы ни взять число $latex \varepsilon > 0$, найдется такой номер $latex N$, что $latex x_n > a — \varepsilon$.
Так как последовательность монотонна, то при $latex n > N$: $latex x_n \geq x_n$, а значит, и $latex x_n > a — \varepsilon$ и выполняются неравенства: $latex 0\leq a — x_n < \varepsilon \vee \left | x_n — a \right | <\varepsilon$ откуда и следует, что $latex \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$. $latex \blacksquare$

Пример. Доказать, что последовательность $latex x_n = \frac{1}{n}$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $latex n$: $latex x_n = \frac{1}{n} > 0$.

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

$latex x_n — x_{n-1} =$ $latex \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} =$ $latex \frac{n+1-n}{n(n+1)} =$ $latex \frac{1}{n(n+1)} > 0 \Rightarrow x_n > x_{n-1}$

а, значит, последовательность {$latex x_n$} монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. $latex \blacksquare$
Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
• webmath.ru

Предел монотонной последовательности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Если $latex \forall n\in\mathbb N$: $latex x_n$$latex \leq$$latex x_{n+1}$. То последовательность {$latex x_n$} является
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Пусть $latex \exists \lim\limits_{x \to \infty} x_n = \sup x_n$
   Тогда последовательность $latex x_n$:

   • возрастает
   • убывает
   • ограничена снизу
   • ограничена сверху
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 5

   Заполнить пропуски

   • Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности утверждает, что любая (ограниченная) возрастающая ( (убывающая)) последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной (верхней) ( (нижней)) (грани).