Последовательности точек в $R^{n}$
Если каждому натуральному числу ν поставлена в соответствие точка $x_{v}\in R^{n},$ то говорят, что задана последовательность {$x_{ν}$} точек из $R^{n}.$
Определение.Точка $x$ называется пределом последовательности точек $x_{ν} (ν=1,2,\ldots),$ если для любого $\displaystyle\eps > 0$ существует такое $N$, что для всех $ν \geqslant N$ справедливо неравенство $\displaystyle|x_{ν} − x| < \eps.$
Эквивалентное геометрическое определение может быть сформулировано следующим образом.
Определение. Точка $x$ называется пределом последовательности точек $x_{ν}(ν = 1, 2,\ldots),$ если в любой окрестности точки $x$ содержатся все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа, т. е. какой бы шар с центром в точке $x$ мы ни взяли, в него попадут все точки $x_{ν}$, кроме, быть может, конечного их числа. Предел $x$ последовательности {$x_{ν}$} обозначают, как обычно,
$$\lim_{v\to+\infty}x_{v}$$
Теорема. (единственность предела)
Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Действительно, если у последовательности {$x_{ν}$} есть два предела $x^{\prime},x^{\prime\prime}$ и $x^{\prime\prime}\neq x^{\prime},$ то построим непересекающиеся окрестности $V^{\prime}$ $V^{\prime\prime}$ точек $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime}$, соответственно (для этого достаточно взять шары с центрами в точках $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime},$ радиусы которых равны половине расстояния между точками $x^{\prime}$ и $x^{\prime\prime}$). Поскольку $x^{\prime} = \displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v},$ то в окрестности $V^{\prime}$ содержатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Аналогично, поскольку $x^{\prime\prime} \displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v} ,$ то в окрестность $V^{\prime\prime}$ попадают все элементы последовательности {$x_{ν}$}, начиная с некоторого номера. Но это невозможно, поскольку окрестности $V^{\prime}$ и $V^{\prime\prime}$ не пересекаются.
Последовательность {$x_{ν}$} называется ограниченной, если ограничено множество значений этой последовательности.
Равносильное определение: последовательность {$x_{ν}$} называется ограниченной, если существует такое число $M$, что $|x_{ν}| \leqslant M (ν = 1, 2\ldots).$
С геометрической точки зрения это означает, что существует шар с центром в нуле, содержащий все элементы последовательности.
Очевидно также, что последовательность ограничена тогда, и только
тогда, когда все ее элементы содержатся в некотором шаре (не обязательно с центром в нуле).
Теорема (ограниченность сходящейся последовательности).Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Действительно, пусть $x =\displaystyle \lim_{v\to+\infty}x_{v}$. Обозначим через $V$ шар единичного радиуса с центром в точке $x$. По определению предела, в этом шаре находятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера $N$. Вне $V$ находится разве что конечное число элементов $x_{ν}$. Положим $$\rho = max\left\{1, |x_{1} − x|,\ldots,|x_{N−1} − x|\right\}$$ и получим, что в $\bar{B}\left(x,\rho\right)$ находятся все $x_{ν} (ν=1,2,\ldots),$ т. е. последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ ограничена.
Рассмотрим последовательность$\displaystyle\left(\left(-1\right)^{v},\frac{1}{v},\frac{1}{2^{v}}\right)\left(ν = 1, 2,\ldots\right)$ точек в пространстве $R^{3}.$ Эта последовательность предела не имеет, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности. Легко видеть, что эта последовательность ограничена. Действительно, имеем $|x_{ν}|\leqslant \sqrt{3}.$ Последовательность $\displaystyle y_{ν} = \left(\frac{v+1}{v},\frac{1}{v},\frac{2v-1}{v+3}\right)\left(ν = 1, 2,\ldots\right)$ точек из $R^3,$ очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2).$
Теорема. Для того чтобы последовательность точек $x_{ν}\in R^{n}$сходилась к точке $x \in R^{n}$, необходимо и достаточно, чтобы при каждом $i = 1,\ldots, n$ числовая последовательность $\left\{x^{i}_{v}\right\}^{+\infty}_{i=1},$ составленная из $i$-х координат точек $x_{ν}$, сходилась к $i$-й координате $x^{i}$ точки $x.$
Достаточность. Воспользуемся неравенством $\displaystyle|x_{ν} − x| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x^{i}_{v}-x^{i}\right)^{2}}\leqslant\sum_{i=1}^{n}|x^{i}_{v}-x^{i}|.$ Поскольку при каждом $i = 1,\ldots, n$ имеем $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}^{i}=x^{i},$ то для любого $i$ найдется такое $N_{i},$ что при каждом $ν \geqslant N_{i},$справедливо $\displaystyle|x^{i}_{ν} − x^{i}|<\frac{\eps}{n}.$Если положим $N = max\left(N_{1},\ldots, N_{n}\right)$, то для любого $ν \geqslant N$ получим $|x_{ν} − x|<\eps,$ т.е. $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}^{i}=x.$
Теорема (арифметические свойства пределов). Пусть $\left\{x_{ν}\right\},\left\{y_{ν}\right\}$ – две последовательности точек из $R^{n}$ такие, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}x_{v}=x ,\displaystyle\lim_{v\to+\infty}y_{v}=y$ и $\left\{α_ν\right\}$ – последовательность действительных чисел, такая, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\alpha_{v} = \alpha.$ Тогда
- $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\left(x_{v}+y_{v}\right) = x + y$
- $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\alpha_{v}x_{v} = \alpha x$
- $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}\left(x_{v}\cdot y_{v}\right) = x \cdot y$
- $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}|x_{v}| = |x|$
- Очевидно
- Поскольку последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ сходится, то она ограничена. Пусть $|x_{ν}|\leqslant M.$ Тогда, в силу неравенства треугольника, имеем
$|\alpha_{ν}x_{ν} − \alpha x| \leqslant |\alpha_{ν}x_{ν} − \alpha x_{ν}| + |\alpha x_{ν} − \alpha x|=$$=|\alpha ν − \alpha||x_{ν}| + |\alpha||x_{ν} − x| \leqslant M|\alpha_{ν} − \alpha| + |\alpha||x_{ν} − x|.$ Отсюда следует 2. - Пользуясь неравенством Коши и неравенством треугольника, ограниченностью последовательности ${y_{ν}}$ (т. е. $|y_{ν}| \leqslant M$) и свойствами скалярного произведения, получаем
$|x_{ν} \cdot y_{ν} − x \cdot y|\leqslant $$|x_{ν} \cdot y_{ν} − x \cdot y_{ν}| + |x \cdot y_{ν} − x \cdot y| =$$
= |(x_{ν}−x)\cdot y_{ν}|+|x\cdot\left(y_{ν}−y\right)| \cdot |x_{ν}−x||y_{ν}|+|x||y_{ν}−y| \leqslant $$M|x_{ν}−x|+|x||y_{ν}−y|.$
Отсюда, очевидно, следует 3. - Для доказательства 4. достаточно показать, что
$||x_{ν}| − |x|| \leqslant |x_{ν} − x|.$
Это неравенство, в свою очередь, вытекает из следующих двух очевидных неравенств:$|x_{ν}| \leqslant |x| + |x_{ν} − x|, |x| \leqslant |x_{ν}| + |x − x_{ν}|.$
Определение.Последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если для каждого $\eps > 0$ найдется такой номер $N$, что для любых двух номеров $ν, \mu \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_{ν} − x_{\mu}| < \eps.$
Теорема. (критерий Коши).Для того чтобы последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ точек в $R^{n}$ была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
\lim_{ν\to+\infty}x_{ν} = x.$ Зададим $\eps > 0$ и найдем такой номер $N,$ что для всех $ν \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_{ν} − x|<\eps$. Если $ν,\mu \geqslant N$, то, в силу неравенства треугольника,получим $\displaystyle|x_{v}-x_{\mu}\leqslant|x_{v}-x|+|x_{\mu}-x|<\frac{\eps}{2}+\frac{\eps}{2} = \eps$ а это означает, что последовательность фундаментальна.
Достаточность. Пусть последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ фундаментальна. Покажем, что она сходится. Для этого достаточно установить, что для каждого $i = 1,\ldots, n$ числовая последовательность $\left\{x^{i}_{v}\right\}$ является сходящейся. Но это сразу следует из неравенства $|x^{i}_{v} — x^{i}_{\mu}|\leqslant |x_{v}-x_{\mu}|$ Действительно, поскольку последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ фундаментальна, то и числовая последовательность $\left\{x^{i}_{v}\right\}$ также фундаментальна. Применяя теперь критерий Коши сходимости числовых последовательностей, получаем, что последовательность $\left\{x^{i}_{v}\right\}$ сходится. Обозначим $x^{i} = \lim_{v\to+\infty}x^{i}_{v}(i =1,\ldots, n)$. Тогда получим, что последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ сходится к $x = \left(x^{1},…,x^{n}\right)$
Следующая теорема дает еще одно равносильное определение предельной точки множества.
Теорема. Для того чтобы точка $x \in R^{n}$ являлась предельной точкой множества $E$, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность $\left\{x_{ν}\right\}$ попарно различных точек множества $E$, сходящаяся к $x.$
Достаточность. Пусть $\displaystyle\lim_{ν\to+\infty}x_{ν} = x$ и точки $x_{ν} \in E$ попарно различны. Тогда можно считать, что ни одна из них не совпадает с точкой $x$. Поскольку, в силу определения предела, любая окрестность точки $x$ содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, то $x$ – предельная точка множества $E.$
Лемма Больцано – Вейерштрасса. Из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть $\left\{x_{ν}\right\}$ – ограниченная последовательность. Обозначим через $E$ множество значений этой последовательности. Рассмотрим два случая.
- Если множество $E$ конечно, то найдется такая строго возрастающая последовательность индексов $ν_{1} < ν_{2} <\ldots,$ что $x_{ν1} = x_{ν2} = \ldots$ Это
означает, что подпоследовательность $\left\{x_{ν_{k}}\right\} $сходится. - Пусть множество $E$ бесконечно. Поскольку оно еще и ограничено, то $E$ имеет хотя бы одну предельную точку $x$. По предыдущей теореме, существует последовательность попарно различных точек из множества $E$, сходящаяся к $x$. Эти точки множества $E$ являются элементами последовательности $\left\{x_{ν}\right\}$ и, очевидно, можно считать, что номера $ν_{1}, ν_{2},\ldots$ этих элементов последовательности строго возрастают. Таким образом, мы получили подпоследовательность
$\left\{x_{ν_{k}}\right\}$, сходящуюся к $x$.
Замечание.Можно было дать и прямое доказательство леммы Больцано – Вейерштрасса, аналогичное тому, что было приведено в одномерном случае (основанное на методе деления отрезка). Для этого нужно взять сегмент, содержащий все $x_{ν}$, и, проводя последовательно деление его сторон пополам, выбирать каждый раз тот частичный сегмент, в котором находится бесконечно много элементов последовательности $\left\{x_{ν}\right\}$.Проведите самостоятельно.
Последовательность $\displaystyle\left(\frac{1}{n}+1,\left(-1\right)^{n}\right)$ расходится, так как предел $\left(-1\right)^{n}$ не существует, однако можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{v_{i}}=\left(\frac{1 }{i}+1,\left(-1\right)^{n}\right),(i=2,4,…,2n),$ которая будет сходиться к точке $\displaystyle K \left(-1;1\right).$
Найти предел $\displaystyle x_{n}=\left(\frac{n+1}{n},\frac{n}{n-1},\frac{2n}{n^{3}+1}\right)$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{x_{n}}=\left(1+\frac{1}{n},\frac{1+\frac{1}{n}}{1},\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ $=\left(1,1,0\right).$
Доказать, исходя из определения, что $\displaystyle\lim_{v\to+\infty}{\left(\frac{5n}{n\cdot\sqrt{n}},\frac{2n}{2^{n}}\right)}=\left(0,0\right)$.$$\frac{5n}{n\cdot\sqrt{n}}\leqslant \frac{5}{\sqrt{n}}\leqslant \eps $$ $$\frac{n}{4^{n}}\leqslant \frac{1}{4^{n}}\leqslant \eps $$Выберем как $N_{\eps}$ число, удовлетворяющее неравенствам $N_{\eps}\geqslant\left(\frac{5}{\eps}\right)^{2}$ и $N_{\eps}\geqslant\ln{\frac{1}{\eps}},$ например $N_{\eps} = \ln{\frac{1}{\eps}}\cdot\left(\frac{5}{\eps}\right)^{2} $Следовательно, подпоследовательности по каждой переменной фундаментальны и ряд сходится,следовательно $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}=\left(0,0\right)$.
Последовательности точек
Используйте этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Последовательности точек».
Литература
- Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 243-247.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.173-177.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 356-359
- Конспект лекций Лысенко З.М.
