Processing math: 100%

M1709. Окружность и прямоугольник

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск)

Условие

Рис. 1

Окружность пересекает стороны прямоугольника в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в точках с нечетными номерами равна площади четырехугольника с вершинами в точках с четными номерами (рис. 1).

Решение

Сначала запишем вспомогательное равенство для отрезков горизонтальных сторон прямоугольника KLMN, выступающих за пределы окружности (рис.2):

Рис. 2
LA3+NA7=MA4+KA8

Это равенство следует хотя бы из того, что трапеция A8A3A4A7 — равнобочная. Аналогично получаем другое вспомогательное равенство для отрезков вертикальных сторон: KA1+MA5=LA2+NA6. Третье вспомогательное равенство получим, если приравняем произведения левых и произведения правых частей первых двух. Обозначив через a длину горизонтальной стороны прямоугольника KLMN, а через b — длину его вертикальной стороны, запишем основное равенство:
LA3(bKA1)+NA7(bMA5)++KA1(aNA7)+MA5(aLA3)==MA4(bNA6)+KA8(bLA2)++LA2(aMA4)+NA6(aKA8).

Это равенство непосредственно следует из трех вспомогательных равенств. Оно означает, что сумма площадей четырех прямоугольных треугольников LA1A3, NA5A7, KA7A1 и MA3A5 равна сумме площадей треугольников MA6A4, KA2A8, LA4A2 и NA8A6. Но в таком случае площади четырехугольников A1A3A5A7 и A2A4A6A8 равны.

В. Произволов