.literature:before — слово «Литература» перед этим добавляется автоматически
.definition — определение в целом
.concept — определяемое понятие внутри определения
.theorem — вся теорема в целом
.lemma — вся лемма в целом
.provement — доказательство внутри теоремы, леммы и т.п.
.provement:before — начало доказательства, слово «Доказательство» пишется автоматически
.provement:after — конец доказательства, квадратик рисуется автоматически
.consequence — следствие
.criterion — критерий
.property — свойства чего-либо
.remark — замечание
.examples — примеры в целом
.example — пример внутри примеров
.solution — решение внутри примера
.example .statement — условие внутри примераclass
section p:nth-child(1) — часть внутри абзаца
section p:nth-last-child(1) — последняя часть внутри абзаца
.see-also — смотри также
article — статья
section — раздел статьи
.type — выделение заголовка блока, например слова «определение» или «теорема».
.llms-main — ?
.statement > p — ?
<div class = "theorem">
<p class = "statement">
<span class = "type">Теорема.</span> Пусть существует $\lim \limits_{x \to x_0} \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} = K,$ где $0 \leqslant K \lt+\infty.$ Тогда $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$</p>
<p class = "provement">
Рассматриваем случай $x_0 \in \mathbb{R}.$ Зададим $\varepsilon = 1$ и найдем такое $\delta \gt 0,$ что для всех $x,$ удовлетворяющих условию $\abs{x-x_0} \lt \delta,$ справедливо неравенство $\abs{\abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}}-K} \lt 1.$ Последнее неравенство равносильно тому, что
$$K-1 \lt \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} \lt K+1.$$ Умножая правое неравенство на $\abs{g\rndBrcts{x}},$ получаем утверждение теоремы.
</p>
</div>
Теорема. Пусть существует $\lim \limits_{x \to x_0} \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} = K,$ где $0 \leqslant K \lt+\infty.$ Тогда $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$
Рассматриваем случай $x_0 \in \mathbb{R}.$ Зададим $\varepsilon = 1$ и найдем такое $\delta \gt 0,$ что для всех $x,$ удовлетворяющих условию $\abs{x-x_0} \lt \delta,$ справедливо неравенство $\abs{\abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}}-K} \lt 1.$ Последнее неравенство равносильно тому, что
$$K-1 \lt \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} \lt K+1.$$ Умножая правое неравенство на $\abs{g\rndBrcts{x}},$ получаем утверждение теоремы.
<p class = "definition">
<span class = "type">Определение</span> Пусть функции $f$ и $g$ определены в <a href = "http://ib.mazurok.com/2018/06/10/limit_of_a_function" target="_blank" rel="noopener noreferrer">проколотой окрестности точки</a> $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является <span class = "term">$\overline{o}$-малой</span> относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 0.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
</p>
Определение Пусть функции $f$ и $g$ определены в проколотой окрестности точки $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является $\overline{o}$-малой относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 0.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
<section class = "see-also">
<h2>Смотрите также</h2>
<ol>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/1rz1bs2hg0pbi0g/Ter-Krikorov.djvu" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. - С. 116-121.</a></li>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/bmcb3ywhh4hms9l/Kudriavcev1.pdf" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва: Дрофа, 2003. - 703 с. - С. 253-271.</a></li>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/1c4fffjbxge8dwe/Fihtengolc_t1_1962ru.djvu" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. - 5-е изд., стереотип. - Москва: Физматгиз, 1962. - 607 с. - С. 136-146.</a></li>
</ol>
</section>
<section class = "examples">
<h2>Примеры решения задач</h2>
<p>Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.</p>
<ol>
<li class = "example">Найти предел $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}}.$
<details>
<summary>Решение</summary>
$\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}} = \\
= \left[
\begin{gathered}
\text{При }x \to 1\\
e^{x-1}-1 \sim x-1\\
\sin{\rndBrcts{x-1}} \sim x-1\\
\end{gathered}
\right ] = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{x-1}}{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x-1}} = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{2018}-2x+1}{x-1} = \\
= \left[
\begin{gathered}
\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \bigg|_{x=1} = 0 \\
\Leftrightarrow \\
\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \vdots \rndBrcts{x-1}\\
\text{Разделим многочлен} \rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \\
\text{ на двучлен } \rndBrcts{x-1}\\
\text{при помощи схемы Горнера:}\\
\ \ \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ \ldots \ 0 \ -2 \ 1\\
1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \ -1 \ 0\\
\end{gathered}
\right ] = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\frac{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}\ldots+x^2+x-1}}{\rndBrcts{x-1}} = \\ = \lim\limits_{x \to 1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}+\ldots+x^2+x-1} = 2016$
</details>
</li>
</ol>
</section>
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.
Найти предел $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}}.$ Решение
Предложенный выше класс для разметки доказательств хорошо работает только если все доказательство помещается в один абзац (тег Р). Для доказательств состоящих из нескольких абзацев следует использовать другой класс - proof. По ссылке https://jsfiddle.net/mazurok/bfjxuewv/24/ вы сможете найти пример использования (окно HTML) и как это выглядит. Если любопытно, то окне CSS можно посмотреть, как мы добились такого эффекта.
$\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \newcommand{\rndBrcts}[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}$Определение. Пусть функции $f$ и $g$ отличны от нуля в проколотой окрестности точки $x_0$ (равной, быть может, $+\infty,$ $-\infty$ или $\infty$). Говорят, что функции $f$ и $g$ эквивалентны при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 1.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} \sim g\rndBrcts{x} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
В терминах этого определения найденные ранее (см. Первый замечательный предел, Второй замечательный предел) пределы можно переписать следующим образом (все соотношения формулируются для случая $x \to 0$):
$$
\sin{x} \sim x, \\
\tg{x} \sim x, \\
1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2, \\
\arcsin{x} \sim x, \\
\arctg{x} \sim x, \\
a^x-1 \sim x \ln{a}, \\
\log_a{\rndBrcts{1+x}} \sim \frac{x}{\ln{a}}, \\ \
\rndBrcts{1+x}^\alpha-1\sim \alpha \cdot x.
$$
Эти соотношения останутся в силе, если в них вместо переменной $x$ записать отличную от нуля функцию $\varphi \rndBrcts{x},$ стремящуюся к нулю при $x \to x_0.$ Например, $\sin{x^2} \sim x^2 \ \rndBrcts{x \to 0},$ $\tg{\frac{1}{x}} \sim \frac{1}{x} \ \rndBrcts{x \to \infty},$ $\tg{\sin{\rndBrcts{x-1}^2}} \sim \sin{\rndBrcts{x-1}^2} \sim \rndBrcts{x-1}^2 \ \rndBrcts{x \to 1}.$
Теорема (применение эквивалентных функций для нахождения пределов). Пусть $f\rndBrcts{x} \sim f_1\rndBrcts{x}$ и $g\rndBrcts{x} \sim g_1\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0$ и пусть существует $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f_1\rndBrcts{x}}{g_1\rndBrcts{x}} = A.$ Тогда существует $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = A.$
По определению эквивалентных функций, используя арифметические свойства пределов, получаем
$$\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f\rndBrcts{x}}{f_1\rndBrcts{x}} \cdot \frac{g_1\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} \cdot \frac{f_1\rndBrcts{x}}{g_1\rndBrcts{x}} = 1 \cdot 1 \cdot A = A,$$ и теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что при вычислении пределов в произведении и в частном функции можно заменять эквивалентными. При этом существование предела и его величина не изменяются.
Символами Ландау называются символы $\overline{o}$ и $\underline O.$ Дадим определение.
Определение Пусть функции $f$ и $g$ определены в проколотой окрестности точки $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является $\overline{o}$-малой относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 0.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
Если $f\rndBrcts{x} \to 0, \ g\rndBrcts{x} \to 0$ и $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$ при $x \to x_0,$ то говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является бесконечно малой более высокого порядка, чем $g\rndBrcts{x},$ при $x \to x_0.$ Если же $f\rndBrcts{x} \to \infty, \ g\rndBrcts{x} \to \infty$ и $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \text{ при } x \to x_0,$ то говорят, что $g\rndBrcts{x}$ стремится к бесконечности быстрее, чем $f\rndBrcts{x},$ при $x \to x_0.$ Например, $\sin \rndBrcts{x^2} = \overline o\rndBrcts{x} \ \rndBrcts{x \to 0}, \ \tg^3{x} \cdot \sin{\frac{1}{x}} = \overline o\rndBrcts{x^2} \ \rndBrcts{x \to 0}.$
Определение. Пусть функции $f$ и $g$ определены в проколотой окрестности $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является $\underline O$-большим относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если существует такая проколотая окрестность $U_{\delta}$ точки $x_0,$ что для всех $x \in U_{\delta}$ справедливо неравенство $\abs{f\rndBrcts{x}} \leqslant c \cdot \abs{g\rndBrcts{x}},$ где постоянная $c$ не зависит от $x$ (но может зависеть от окрестности $U_{\delta}$). Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
Например, $x^2+2x^3 = \underline O \rndBrcts{x^2}.$
Теорема. Пусть существует $\lim \limits_{x \to x_0} \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} = K,$ где $0 \leqslant K \lt+\infty.$ Тогда $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$
Рассматриваем случай $x_0 \in \mathbb{R}.$ Зададим $\varepsilon = 1$ и найдем такое $\delta \gt 0,$ что для всех $x,$ удовлетворяющих условию $\abs{x-x_0} \lt \delta,$ справедливо неравенство $\abs{\abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}}-K} \lt 1.$ Последнее неравенство равносильно тому, что
$$K-1 \lt \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} \lt K+1.$$ Умножая правое неравенство на $\abs{g\rndBrcts{x}},$ получаем утверждение теоремы.
Теорема (критерий эквивалентности функций). Для того, чтобы отличные от нуля функции $f$ и $g$ были эквивалентны при $x \to x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $f\rndBrcts{x} = g\rndBrcts{x}+\overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
Необходимость. Пусть $f\rndBrcts{x} \sim g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0.$ Тогда $\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}-1 \to 0 \ \rndBrcts{x \to x_0},$ т. е. $\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}-1 = h\rndBrcts{x},$ где $h\rndBrcts{x} \to 0 \ \rndBrcts{x \to x_0}.$ Отсюда следует, что $f\rndBrcts{x} = g\rndBrcts{x}+g\rndBrcts{x} \cdot h\rndBrcts{x}.$ Но $\frac{g\rndBrcts{x} \cdot h\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = h\rndBrcts{x},$ т. е. $g\rndBrcts{x} \cdot h\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
Достаточность. Если $f\rndBrcts{x} = g\rndBrcts{x}+\overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0},$ то $\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 1+\frac{\overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}}{g\rndBrcts{x}}$ и поэтому $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 1.$
Используя эту теорему, набор эквивалентных функций, выписанный нами ранее, можно переписать в следующем виде (всюду $x \to 0$):
$$
\sin{x} = x+\overline o\rndBrcts{x}, \\
\tg{x} = x+\overline o\rndBrcts{x}, \\
1-\cos{x} = \frac{1}{2}x^2+\overline o\rndBrcts{x^2}, \\
\arcsin{x}= x+\overline o\rndBrcts{x}, \\
\arctg{x} = x+\overline o\rndBrcts{x},\\
a^x-1 = x \ln{a}+\overline o\rndBrcts{x}, \\
\log_a{\rndBrcts{1+x}} = \frac{x}{\ln{a}} + \overline o\rndBrcts{x}, \\
\rndBrcts{1+x}^\alpha-1 = \alpha \cdot x + \overline o\rndBrcts{x}.
$$
С помощью этой таблицы можно вычислять пределы. Покажем это на примерах.
Упражнение. Пусть $\lim\limits_{x \to x_0}\alpha\rndBrcts{x} = 0, \lim\limits_{x \to x_0}\beta\rndBrcts{x} = \infty.$ Доказать, что $\lim\limits_{x \to x_0}\rndBrcts{1+\alpha\rndBrcts{x}}^{\beta\rndBrcts{x}} = 0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0}\alpha\rndBrcts{x}\cdot\beta\rndBrcts{x} = -\infty.$ Если же $\lim\limits_{x \to x_0}\alpha\rndBrcts{x}\cdot\beta\rndBrcts{x} = +\infty,$ то $\lim\limits_{x \to x_0}\rndBrcts{1+\alpha\rndBrcts{x}}^{\beta\rndBrcts{x}} = +\infty.$
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.
Найти предел $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}}.$ Решение
Здесь воспользовались простой леммой: если при $x\to x_0 \ f\rndBrcts{x} \sim g\rndBrcts{x},$ то $\overline o\rndBrcts{f\rndBrcts{x}} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$ Читателю в качестве упражнения предлагается доказать ее самостоятельно.
Найти предел $\lim\limits_{x \to a} \displaystyle\frac{a^x-x^a}{x-a}, \ a \gt 0.$ Решение
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 9
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 9
1.
Выберите верное утверждение:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 9
2.
$\lim\limits_{x \to 0}\tg{x}\sin{\frac{1}{x}}$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 9
3.
Дополните предложение: при $x \to 0\ldots$
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 9
4.
Пусть $f\rndBrcts{x},$ $g\rndBrcts{x}$ отличны от нуля в некоторой окрестности $x_0.$$f\rndBrcts{x} = g\rndBrcts{x}+\overline{o}\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \text{ при } x\to x_0$ тогда и только тогда, когда при $x \to x_0$ функции $f\rndBrcts{x}$ и $g\rndBrcts{x}\ldots$
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 9
5.
Подберите функцию $g\rndBrcts{x}$ так, чтобы утверждение $x = \underline O\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$ было верным при $x \to +\infty$ и $x \to 0$
Соотнесите эквивалентные между собой функции при $x \to 0.$
Элементы сортировки
$\arctg{x}$
$\tg{x^2}+\sin{x^5}$
$x^2+\frac{\pi}{2}$
$\arcsin{\tg{x}}$
$\frac{5^{x^2}-1}{\ln{5}}$
$\arctg{\frac{1}{x}}$
Правильно
Неправильно
Задание 8 из 9
8.
Найти значение предела $\lim\limits_{x \to 0}\left ( 2^x+\ln{2^x} \right )^{\frac{1}{x}}$
Правильно
Неправильно
Задание 9 из 9
9.
Выберите из предложенных все функции $g\rndBrcts{x},$ которые удовлетворяют условию $\ln{x} = \underline O\rndBrcts{g\rndBrcts{x}}$ при $x \to +\infty$
Пусть $x, \ y, \ z, \ p, \ q, \ r$ — положительные числа, такие, что $p+q+r=1$, $x^{p}y^{q}z^{r}=1.$ Докажите неравенство $$\frac{p^2x^2}{qy+rz}+\frac{q^2y^2}{px+rz}+\frac{r^2z^2}{px+qy} \geqslant \frac{1}{2}$$
Решение
Докажем вначале некоторые вспомогательные неравенства.
Лемма 1.$$\begin{equation}\label{eq:m1710_first} x^{\alpha}-\alpha x \leqslant 1 — \alpha \end{equation},$$ где $x\gt0, \ 0 \lt \alpha \lt 1.$
При $x\gt0$ рассмотрим функцию
$$f\left ( x \right )=x^{\alpha}-\alpha x,$$ где $0\lt\alpha\lt1.$ Имеем $${f}’\left ( x \right )=\alpha \left ( x^{\alpha-1}-1 \right ) \begin{cases} \gt0 \text { при } 0 \lt x \lt 1\\
\lt0 \text { при } x \gt 1
\end{cases}$$
Следовательно функция возрастает, пока $x$ изменяется в промежутке $\left ( 0; \ 1 \right ]$ и убывает в промежутке $\left [ 1; +\infty \right ).$ Отсюда ясно, что $f\left ( 1 \right )=1-\alpha$ будет наибольшим значением функции в промежутке $\left ( 0; +\infty \right ).$
Для доказательства достаточно дважды применить неравенство $\eqref{eq:m1710_second}$:
$$a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}=a^{\alpha} \left ( b^{\frac{\beta}{\beta + \gamma}}c^{\frac{\gamma}{\beta + \gamma}} \right )^{\beta + \gamma} \leqslant \alpha a + \left ( \beta + \gamma \right )b^{\frac{\beta}{\beta + \gamma}}c^{\frac{\gamma}{\beta + \gamma}} \leqslant \\
\leqslant \alpha a + \left ( \beta + \gamma \right )+ \left ( \frac{\beta}{\beta + \gamma}b+\frac{\gamma}{\beta + \gamma}c \right ) \leqslant \alpha a + \beta b + \gamma c,$$что и требовалось доказать.
Аналогично можно было бы совершить и переход от $n$ к $n + 1$ и доказать — по методу математической индукции — общее неравенство, которое (в измененных обозначениях) имеет вид
$$\begin{equation}\label{eq:m1710_third} {a_1}^{q_1}{a_2}^{q_2} \ldots {a_n}^{q_n} \leqslant q_1a_1 + q_2a_2 + \ldots + q_na_n, \end{equation}$$ (где $a_1,\ldots,a_n, \ q_1,\ldots,q_n\gt0, \ q_1+\ldots+q_n=1$).
Равенство достигается лишь тогда, когда $a_1 = \ldots = a_n.$
