Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

M1472

Журнал «Квант» — физико-математический журнал для школьников и студентов

ЯНВАРЬ/ФЕВРАЛЬ 1995 г. №1

Условие.

При каких натуральных [latex]n>1[/latex] в таблице

[latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]3[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-1[/latex] [latex]n[/latex]
[latex]n[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-2[/latex] [latex]n-1[/latex]
[latex]n-1[/latex] [latex]n[/latex] [latex]1[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-3[/latex] [latex]n-2[/latex]
[latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex]
[latex]3[/latex] [latex]4[/latex] [latex]5[/latex] [latex]…[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex]
[latex]2[/latex] [latex]3[/latex] [latex]4[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n[/latex] [latex]1[/latex]

можно выбрать [latex]n[/latex] разных чисел в разных строках и разных столбцах?

Решение и ответ.

Ответ: при нечетном [latex]n[/latex] — можно, при четном — нельзя.

Будем считать, что таблица состоит из клеток [latex](x;y)[/latex], где [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] — целые числа от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex], причем в клетке [latex](x;y)[/latex] стоит число [latex]f(x;y)[/latex] от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex] такое, что: [latex]f(x;y)=x+y(mod n).[/latex]

Т.е. разность [latex]f(x;y)-(x+y)[/latex] делится на [latex]n[/latex]. (Очевидно, это расположение чисел такое же, как в условии).

Если выбраны числа в клетках [latex](x_{i};y_{i})[/latex], стоящих в разных строках и разных столбцах [latex](i=1,2,…,n)[/latex], то среди [latex]x_{i}[/latex] и среди [latex]y_{i}[/latex] каждое число [latex]1,2,…,n[/latex] встречается по разу, поэтому [latex]x_{1}+…+x_{n} = y_{1}+…+y_{n} = n(n+1)/2[/latex].

Если все числа [latex]f(x_{i};y_{i})[/latex] различны по модулю [latex]n[/latex], то и сумма [latex](x_{1}+y_{1})+…+(x_{n}+y_{n})=n(n+1) [/latex]

должна равняться [latex]n(n+1)/2[/latex] по модулю [latex]n[/latex]. Но если [latex]n[/latex] чётно, [latex]n=2k[/latex], то разность [latex]2k(2k+1)-k(2k+1)=k(2k+1)[/latex]

не делится на [latex]n=2k[/latex], так что выбрать числа требуемым образом нельзя.

Если же [latex]n[/latex] нечетно, то достаточно выбрать числа [latex]f(x;y)[/latex] в клетках [latex]x=y[/latex], идущих по диагонали, где все они различны (числа [latex]2,4,…,2n[/latex] дают разные остатки при делении на [latex]n[/latex]).

Замечание.

Эта задача — по существу другая формулировка двух более известных:

[latex](1)[/latex] Можно ли выписать две перестановки чисел [latex] 1,2,…,n [/latex] одну под другой так, чтобы суммы чисел по столбцам давали различные остатки от деления на [latex]n[/latex]?
[latex](2)[/latex] Пусть [latex]n[/latex] штырьков радиолампы и [latex]n[/latex] соответствующих гнезд розетки, в которую она втыкается, расположены по кругу в вершинах правильного [latex]n[/latex]-угольника. Можно ли штырьки и гнезда занумеровать числами [latex]1,2,…,n[/latex] так, чтобы при любом втыкании лампы в розетку ровно один штырек попадал в гнездо с тем же номером?

Ответ. конечно, тот же, что и в задаче [latex]M1472[/latex].

Н.Васильев, А.Савин

Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл latexdx4sinx+3cosx+5

Подсказка: используйте подстановку        latextanx2=t

Спойлер

 

 

2) Найти интеграл latex(sinx+sin3x)dxcos2x .

Подсказка : используйте замену   latexcosx=t   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

Спойлер

 

 

3) Найти интеграл latexcoshx2+3sinhxdx

Подсказка: используйте подстановку    latext=2+3sinhx 

Спойлер

 

 

4) Найти интеграл latexsinh3xdx
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Спойлер

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку latexx=2arctant    или  latextanx2=t .

 

Интегралы вида latexR(sinx,cosx)dx   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

latexsinx=2tanx21+tan2x2=2t1+t2 ;       latexcosx=1tan2x21+tan2x2=1t21+t2 , где    latexdx=2dt1+t2 .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

latexsinhx=exex2 ;       latexcoshx=ex+ex2 .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • latexcosh2xsinh2x=1 ;
  • latexsinh2x=2sinhcosh ;
  • latexcosh2x=cosh2+sinh2

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

latext=ex ;           latexx=lnt ;           latexdx=dtt .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от latexsinx, latexcosx и latexsinhx, latexcoshx»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида latexR(sinx,cosx)dx   , где R-рациональная функция.

Спойлер

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

Спойлер

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от latexsinx, latexcosx и latexsinhx, latexcoshx»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла Римана


Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Определение интегральных сумм и их границы


latex Предел  интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков latexmaxxk стремится к нулю:

$latex \underbrace{I=\int_{a}^{b}f(x)\ dx=  \lim_{max \triangle x_{k}\rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}.}$

называется определённым интегралом Римана  от функции latexf(x) на отрезке latex[a,b] (или в пределах от a до b).latex

Замечание.  Если функция latexf(x) непрерывна на latex[a,b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка latex[a,b] на элементарные отрезки и от выбора точек latexξk (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

     Если latexf(x)>0 на latex[a,b], то определённый интеграл latexbaf(x)dx геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции —фигуры, ограниченной линиями latexy=f(x), x=a, y=b, y=0.

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных