M1472

Журнал «Квант» — физико-математический журнал для школьников и студентов

ЯНВАРЬ/ФЕВРАЛЬ 1995 г. №1

Условие.

При каких натуральных n>1 в таблице

1 2 3 ... n-1 n
n 1 2 ... n-2 n-1
n-1 n 1 ... n-3 n-2
... ... ... ... ... ...
3 4 5 ... 1 2
2 3 4 ... n 1

можно выбрать n разных чисел в разных строках и разных столбцах?

Решение и ответ.

Ответ: при нечетном n — можно, при четном — нельзя.

Будем считать, что таблица состоит из клеток (x;y), где x и y — целые числа от 1 до n, причем в клетке (x;y) стоит число f(x;y) от 1 до n такое, что: f(x;y)=x+y(mod  n).

Т.е. разность f(x;y)-(x+y) делится на n. (Очевидно, это расположение чисел такое же, как в условии).

Если выбраны числа в клетках (x_{i};y_{i}), стоящих в разных строках и разных столбцах (i=1,2,...,n), то среди x_{i} и среди y_{i} каждое число 1,2,...,n встречается по разу, поэтому x_{1}+...+x_{n} = y_{1}+...+y_{n} = n(n+1)/2.

Если все числа f(x_{i};y_{i}) различны по модулю n, то и сумма (x_{1}+y_{1})+...+(x_{n}+y_{n})=n(n+1)

должна равняться n(n+1)/2 по модулю n. Но если n чётно, n=2k, то разность 2k(2k+1)-k(2k+1)=k(2k+1)

не делится на n=2k, так что выбрать числа требуемым образом нельзя.

Если же n нечетно, то достаточно выбрать числа f(x;y) в клетках x=y, идущих по диагонали, где все они различны (числа 2,4,...,2n дают разные остатки при делении на n).

Замечание.

Эта задача — по существу другая формулировка двух более известных:

(1) Можно ли выписать две перестановки чисел  1,2,...,n одну под другой так, чтобы суммы чисел по столбцам давали различные остатки от деления на n?
(2) Пусть n штырьков радиолампы и n соответствующих гнезд розетки, в которую она втыкается, расположены по кругу в вершинах правильного n-угольника. Можно ли штырьки и гнезда занумеровать числами 1,2,...,n так, чтобы при любом втыкании лампы в розетку ровно один штырек попадал в гнездо с тем же номером?

Ответ. конечно, тот же, что и в задаче M1472.

Н.Васильев, А.Савин

Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}

Подсказка: используйте подстановку        \tan \frac{x}{2}=t

Спойлер

\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta Подынтегральная функция рационально зависит от  \sin x  и  \cos x; применим подстановку \tan \frac{x}{2}=t,

тогда  \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}} ;  \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} ;  dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}       и

\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}= \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=

=2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=  \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}= =-\frac{1}{t+2}+C .

Возвращаясь к старой переменной, получим

\int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C   \blacktriangle

[свернуть]

 

 

2) Найти интеграл \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x} .

Подсказка : используйте замену   \cos x=t   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

Спойлер

\triangle Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем \cos x=t.

Отсюда    \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.

Таким образом :

\int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=

=\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=

=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.

Следовательно:

\int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .          \blacktriangle

[свернуть]

 

 

3) Найти интеграл \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx

Подсказка: используйте подстановку    t=2+3\sinh x  

Спойлер

\triangle Сделаем подстановку t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx. Тогда \cosh xdx=\frac{dt}{3}. Следовательно, интеграл равен

\int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.       \blacktriangle

[свернуть]

 

 

4) Найти интеграл \int \sinh ^{3}xdx
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Спойлер

\triangle Поскольку \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1, и, следовательно, \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1, интеграл можно переписать в виде

\mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx

Делая замену t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx, получаем

\mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=

=\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C \blacktriangle

[свернуть]

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x=2\arctan t    или  \tan \frac{x}{2}=t .

 

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   t=\tan \frac{x}{2}    в указанные интегралы получаем:

\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} ;       \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} , где    dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ;       \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1 ;
  • \sinh 2x=2\sinh \cosh ;
  • \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

t=e^{x} ;           x=\ln t ;           dx=\frac{dt} {t} .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от \sin x, \cos x и \sinh x, \cosh x»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида \int R(\sin x, \cos x)dx   , где R-рациональная функция.

Спойлер

В результате подстановки   t=\tan \frac{x}{2}    в указанные интегралы получаем:

\sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} ;       \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} , где    dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} .

[свернуть]

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

Спойлер

t=e^{x} ;           x=\ln t ;           dx=\frac{dt} {t} .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от \sin x, \cos x и \sinh x, \cosh x»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла Римана


Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Определение интегральных сумм и их границы


\triangle Предел  интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков max\triangle x_{k} стремится к нулю:

\underbrace{I=\int_{a}^{b}f(x)\ dx=  \lim_{max \triangle x_{k}\rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}.}

называется определённым интегралом Римана  от функции f(x) на отрезке [a,b] (или в пределах от a до b).\blacktriangle

Замечание.  Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки и от выбора точек \xi _{k} (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

     Если f(x)>0 на [a,b], то определённый интеграл \int_{a}^{b}f(x)dx геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции —фигуры, ограниченной линиями y=f(x),\ x=a,\ y=b,\ y=0 .

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных