Автор: Игорь Любинский

M1472

Журнал «Квант» — физико-математический журнал для школьников и студентов

ЯНВАРЬ/ФЕВРАЛЬ 1995 г. №1

Условие.

При каких натуральных [latex]n>1[/latex] в таблице

[latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]3[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-1[/latex] [latex]n[/latex]
[latex]n[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-2[/latex] [latex]n-1[/latex]
[latex]n-1[/latex] [latex]n[/latex] [latex]1[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n-3[/latex] [latex]n-2[/latex]
[latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex] [latex]…[/latex]
[latex]3[/latex] [latex]4[/latex] [latex]5[/latex] [latex]…[/latex] [latex]1[/latex] [latex]2[/latex]
[latex]2[/latex] [latex]3[/latex] [latex]4[/latex] [latex]…[/latex] [latex]n[/latex] [latex]1[/latex]

можно выбрать [latex]n[/latex] разных чисел в разных строках и разных столбцах?

Решение и ответ.

Ответ: при нечетном [latex]n[/latex] — можно, при четном — нельзя.

Будем считать, что таблица состоит из клеток [latex](x;y)[/latex], где [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] — целые числа от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex], причем в клетке [latex](x;y)[/latex] стоит число [latex]f(x;y)[/latex] от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex] такое, что: [latex]f(x;y)=x+y(mod n).[/latex]

Т.е. разность [latex]f(x;y)-(x+y)[/latex] делится на [latex]n[/latex]. (Очевидно, это расположение чисел такое же, как в условии).

Если выбраны числа в клетках [latex](x_{i};y_{i})[/latex], стоящих в разных строках и разных столбцах [latex](i=1,2,…,n)[/latex], то среди [latex]x_{i}[/latex] и среди [latex]y_{i}[/latex] каждое число [latex]1,2,…,n[/latex] встречается по разу, поэтому [latex]x_{1}+…+x_{n} = y_{1}+…+y_{n} = n(n+1)/2[/latex].

Если все числа [latex]f(x_{i};y_{i})[/latex] различны по модулю [latex]n[/latex], то и сумма [latex](x_{1}+y_{1})+…+(x_{n}+y_{n})=n(n+1) [/latex]

должна равняться [latex]n(n+1)/2[/latex] по модулю [latex]n[/latex]. Но если [latex]n[/latex] чётно, [latex]n=2k[/latex], то разность [latex]2k(2k+1)-k(2k+1)=k(2k+1)[/latex]

не делится на [latex]n=2k[/latex], так что выбрать числа требуемым образом нельзя.

Если же [latex]n[/latex] нечетно, то достаточно выбрать числа [latex]f(x;y)[/latex] в клетках [latex]x=y[/latex], идущих по диагонали, где все они различны (числа [latex]2,4,…,2n[/latex] дают разные остатки при делении на [latex]n[/latex]).

Замечание.

Эта задача — по существу другая формулировка двух более известных:

[latex](1)[/latex] Можно ли выписать две перестановки чисел [latex] 1,2,…,n [/latex] одну под другой так, чтобы суммы чисел по столбцам давали различные остатки от деления на [latex]n[/latex]?
[latex](2)[/latex] Пусть [latex]n[/latex] штырьков радиолампы и [latex]n[/latex] соответствующих гнезд розетки, в которую она втыкается, расположены по кругу в вершинах правильного [latex]n[/latex]-угольника. Можно ли штырьки и гнезда занумеровать числами [latex]1,2,…,n[/latex] так, чтобы при любом втыкании лампы в розетку ровно один штырек попадал в гнездо с тем же номером?

Ответ. конечно, тот же, что и в задаче [latex]M1472[/latex].

Н.Васильев, А.Савин

Примеры интегрирования рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

 

1) Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку        $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta Подынтегральная функция рационально зависит от  $latex \sin x$  и  $latex \cos x$; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$,

тогда  $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;  $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ;  $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$       и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$  $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим: 

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$   $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

2) Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка : используйте замену   $latex \cos x=t$   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$.

Отсюда    $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$          $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

3) Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

Подсказка: используйте подстановку    $latex t=2+3\sinh x $ 

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$       $latex \blacktriangle$

[свернуть]

 

 

4) Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Спойлер

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$, и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$    или  $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;
  • $latex \sinh 2x=2\sinh \cosh $ ;
  • $latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2} $ . 

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

Спойлер 

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

[свернуть]

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

Спойлер

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла Римана

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Определение интегральных сумм и их границы

$latex \triangle $ Предел  интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков $latex max\triangle x_{k}$ стремится к нулю:

$latex \underbrace{I=\int_{a}^{b}f(x)\ dx=  \lim_{max \triangle x_{k}\rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}.}$

называется определённым интегралом Римана  от функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ (или в пределах от a до b).$latex \blacktriangle $

Замечание.  Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка $latex [a,b]$ на элементарные отрезки и от выбора точек $latex \xi _{k}$ (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

     Если $latex f(x)>0$ на $latex [a,b],$ то определённый интеграл $latex \int_{a}^{b}f(x)dx$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции —фигуры, ограниченной линиями $latex y=f(x),\ x=a,\ y=b,\ y=0 .$

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных