Определение интегральных сумм и их пределов

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Определение 1. (Интегральная сумма)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ определена на отрезке $latex [a,b]$ . Разделим отрезок $latex [a,b]$ на n произвольных частей точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b,$ выберем на каждом элементарном отрезке $latex [x_{k-1};x_{k}]$ произвольную точку $latex \xi _{k}$ и найдём длину каждого такого отрезка: $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ .

[свернуть]

$latex \triangle$ для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется сумма вида

$latex \underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$ причем эта сумма имеет конечный предел $latex I$ если для каждого $latex \varepsilon >0$ найдется такое число $latex \delta >0$ , что при $latex (max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $latex \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $latex \xi _{k}.$ $latex \blacktriangle$

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ ограничена на сегменте $latex [a;b]$ и $T$ — разбиение этого сегмента точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b.$ Обозначим через $latex M_{i}$ и $latex m_{i}$ соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте $latex [x_{i}-x_{i-1}]$ .

[свернуть]

Суммы

$latex S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$

$latex S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$

называются соответственно верхней и нижней суммами функции $latex f(x)$ для данного разбиения $latex T$ сегмента $latex [a;b]$ .

Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$

Спойлер

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 244-246
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §1, стр. 97-100

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$ , то предел интегральной суммы существует и …
- не зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
- зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек
- не зависит от способа разбиения, но зависит от выбора промежуточных точек
- зависит от способа разбиения, но не зависит выбора промежуточных точек
Правильно 1 / 1Баллы

Неправильно / 1 Баллы

Подъучи ещё и снова приходи
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 4
Вычислите значения каждого интеграла и разместите их, начиная от меньшего (по значению) к большему :

1. $latex \int_{2}^{4}xdx$

2. $\int_{0}^{1}e^{x}dx$

3. $latex \int_{2}^{3}2dx$

4. $latex \int_{2}^{2}\sin ^{2}x-x^{10}+5x^{3}$
- 4
- 2
- 3
- 1
Правильно 4 / 4Баллы

Неправильно / 4 Баллы

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 6

Кто есть кто?

(Риман=3 балла)

Элементы сортировки

Буняковский
Риман
Ньютон
Лагранж

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 2
Интегральной суммой для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется …
- сумма вида $\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$
- сумма вида $\underbrace{\sum_{k=1}^{n}(\xi _{k})\triangle x_{k}}$ где $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{k-1}]$
- сумма площадей прямоугольников с основанием $[x_{k}-x_{k-1}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
- сумма площадей криволинейных трапеций с основанием $\triangle x_{k}=[x_{k}-x_{o}]$ и высотой $f(\xi _{i})$
Правильно 2 / 2Баллы

Неправильно / 2 Баллы
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Дополните фразу: геометрически интеграл представляет собой площадь криволинейной …
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x. Универсальная подстановка.

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$ или $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$ , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ; $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :

$latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

$latex \sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

$latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ .

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :

$latex t=e^{x}$ ; $latex x=\ln t$ ; $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

Рассмотрим несколько примеров:

(Прочитав вышеизложенный материал, попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$

Спойлер

$\small \inline \dpi{100} \fn_jvn \Delta$ Подынтегральная функция рационально зависит от $latex \sin x$ и $latex \cos x$ ; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$ ,

тогда $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ; $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ и

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$

$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$ $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .

Возвращаясь к старой переменной, получим:

$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка используйте замену $latex \cos x=t$ , а также свои знания по теме «Тригонометрические тождества»

Спойлер

$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$ .

Отсюда $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$

Таким образом :

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$

$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$

Следовательно:

$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

используйте подстановку $latex t=2+3\sinh x$

Спойлер

$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен

$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка: используйте гиперболиские соотношения

Спойлер

$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ , и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде

$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$

Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем

$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$

$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$

[свернуть]

Литература:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова (издание 6-е часть 1) стр. 234-242
Конспекты по мат.анализу (преп. Лысенко З.М.)
Ещё больше примеров можно найти здесь

Дополнительные материалы :

Лекции по матанализу т1. стр. 171-173
Г.М.Фихтенгольц т.2 1964 год стр. 73-78

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Задача 1. (О вычислении пути)

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$ . Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ .

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки (рис.3) $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$ . Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$ . Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (2)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ , перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$ в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается: $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$

Рассмотрим рис.1 Сумма вида (1) равна сумме площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$ и высотами $latex f( x_{k})$ . Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$ .

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$ , заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: ${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$ , то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$ , $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex \Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$ , которые называются интегральными суммами

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 243-258
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение 1. (Интегральная сумма)

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Рисунок 1. Разбиение сегмента latex[a;b]latex [a;b]

Список литературы: