Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе

$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= } $$
$$=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int\limits_{ -\pi  }^{ \pi  }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi  }  }  }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$$ $$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$$

Обозначим
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }. $$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле

1. $\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$

2. $\quad  \frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.

3. $\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$
Доказательство
Для $n=0,1\ldots,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N$ имеем:
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } } =$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } (\sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } \cos { kt } } )=$$
$$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \left[ \sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sin { \frac { 2k+1 }{ 2 } t } -\sin { \frac { 2k-1 }{ 2 } } t) } \right] =$$
$$=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } ) } t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  }$$
[свернуть]

4. $\quad \int\limits _{ -\pi  }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi  }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$

Следствие

Пусть $0<\delta <\pi ,\quad  x\in [-\pi,\pi ]$, $\quad 2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$$

Доказательство
В силу полученного выше равенства,
$${{ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+}$$
$$+\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ \delta  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt.$$
Поэтому достаточно показать, что последнее слагаемое справа стремится к нулю при $n\rightarrow \infty $.  При фиксированном $x\in [-\pi ,\pi ]$ на отрезке $t\in [\delta ,\pi ]$ функция $\frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } $ абсолютно интегрируема и поэтому, в силу теоремы Римана:
$${\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt=}$$
$$=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ \delta  }^{ \pi  }{ { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  }  } } )t\cdot \frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } dt\rightarrow 0,$$
$$(n\rightarrow \infty ).$$
[свернуть]

Теорема(принцип локализации)

Пусть $2\pi $-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$. Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
$$\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$$
где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$

Разложение в ряд Фурье линейной функции ($f\left( x \right) =kx+b$)



Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Том 2. стр 138-141.
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа. 3-е издание. 2001 год стр 572-576.

Тест

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
Информация
Проверьте свои знания
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
• Тест окончен
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 6

   1.

   $2\pi$ — периодическая функция, задаваемая следующей формулой

   $${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }$$ называется

   • (Ядро Дирихле, ядро Дирихле, ядром Дирихле, Ядром Дирихле)
2. Задание 2 из 6

   2.

   Разложите функцию $f\left( x \right) =\sin { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$ ($a$ — не целое).

   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right] $
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } $
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right] $
3. Задание 3 из 6

   3.

   Разложить в ряд Фурье на интервале $\left( -\pi ,\pi \right)$ следующие функции:

   Элементы сортировки

   • $\frac { 2 }{ 3 } { \pi }^{ 2 }+4\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 } } } \cos { nx } $
   • $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right] $
   • $\frac { 2{ \sinh { \pi a } } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } $
   • $1-\frac { 1 }{ 2 } \cos { x } +2\sum _{ n=2 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 }-1 } } \cos { nx } $

   • $$f\left( x \right) ={ \pi }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }$$

   • $$f\left( x \right) =\cos { ax } $$ ($a$ - не целое)

   • $$f\left( x \right) =\sinh { ax } $$

   • $$f\left( x \right) =x\sin { x } $$
4. Задание 4 из 6

   4.

   Укажите свойства ядра Дирихле

   • ${ D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,...)$
   • ${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }$
   • $\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,...)$
   • ${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx } $
   • ${ D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \quad (n=0,1,...,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\epsilon N)$
5. Задание 5 из 6

   5.

   Можно ли разложить функцию $f\left( x \right) =\cos { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$, если $a$ — не целое.
6. Задание 6 из 6

   6.

   Запишите интеграл Дирихле.

   • $\frac { 1 }{ \pi  }$
   • $\int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }$
   • $ { D }_{ n }(t-x)$
   • $f(t)$
   • $dt$



Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

максимум из 18 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$.

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi  }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\| <\varepsilon.$$

Запишем неравенство Бесселя:
$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\|  }^{ 2 },$$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ замкнута для любого элемента $f\in R$, то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } }  \right\| ={ \left\| f \right\|  }^{ 2 }.$$

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ замкнута в $R$, то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi  }_{ k }) } { \varphi  }_{ k } \right\|  } =0.$$

Определение

$\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $ f\in R$. $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi  }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$.

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Литература

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Том 2. стр 135-138.
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа. 3-е издание. 2001 год стр 578-581.