Ряды Фурье по тригонометрической системе

Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе

${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= }$
$=\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi } } }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$ $=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$

Обозначим
${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }.$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле

$\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$
$\quad \frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.

$\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$

Доказательство

Для $n=0,1\ldots,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N$ имеем:
${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } } =$
$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } (\sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } \cos { kt } } )=$
$=\frac { 1 }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \left[ \sin { \frac { t }{ 2 } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ (\sin { \frac { 2k+1 }{ 2 } t } -\sin { \frac { 2k-1 }{ 2 } } t) } \right] =$
$=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } ) } t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } }$

[свернуть]

$\quad \int\limits _{ -\pi }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$

Следствие

Пусть $0<\delta <\pi ,\quad x\in [-\pi,\pi ]$ , $\quad 2\pi$ -периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$

Доказательство

В силу полученного выше равенства,
${{ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+}$
$+\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ \delta }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt.$
Поэтому достаточно показать, что последнее слагаемое справа стремится к нулю при $n\rightarrow \infty$ . При фиксированном $x\in [-\pi ,\pi ]$ на отрезке $t\in [\delta ,\pi ]$ функция $\frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } }$ абсолютно интегрируема и поэтому, в силу теоремы Римана:
${\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt=}$
$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ \delta }^{ \pi }{ { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } } } )t\cdot \frac { f(x+t)+f(x-t) }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } dt\rightarrow 0,$
$(n\rightarrow \infty ).$

[свернуть]

Теорема(принцип локализации)

Пусть $2\pi$ -периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$ . Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
$\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ 0 }^{ \delta }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$
где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$

Разложение в ряд Фурье линейной функции ( $f\left( x \right) =kx+b$ )

Литература

Тест

Проверьте свои знания

Задание 1 из 6

1.
$2\pi$ — периодическая функция, задаваемая следующей формулой

${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }$ называется
Задание 2 из 6

2.
Разложите функцию $f\left( x \right) =\sin { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$ ( $a$ — не целое).
- $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right]$
- $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } }$
- $\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \right]$

Задание 3 из 6

Разложить в ряд Фурье на интервале $\left( -\pi ,\pi \right)$ следующие функции:

Элементы сортировки

$\frac { 2 }{ 3 } { \pi }^{ 2 }+4\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 } } } \cos { nx }$
$\frac { 2\sin { \pi a } }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ 2a } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n+1 } } \frac { a\cos { nx } }{ { n }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right]$
$\frac { 2{ \sinh { \pi a } } }{ \pi } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 }n\sin { nx } }{ { n }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } }$
$1-\frac { 1 }{ 2 } \cos { x } +2\sum _{ n=2 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ { n }^{ 2 }-1 } } \cos { nx }$

$f\left( x \right) ={ \pi }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }$

$f\left( x \right) =\cos { ax }$ (

$a$ - не целое)

$f\left( x \right) =\sinh { ax }$

$f\left( x \right) =x\sin { x }$

Задание 4 из 6

4.
Укажите свойства ядра Дирихле
- ${ D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,...)$
- ${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt } }$
- $\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,...)$
- ${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx }$
- ${ D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 } } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 } } } \quad (n=0,1,...,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\epsilon N)$
Задание 5 из 6

5.
Можно ли разложить функцию $f\left( x \right) =\cos { ax }$ в ряд Фурье на интервале $(-\pi ,\pi )$ , если $a$ — не целое.
Задание 6 из 6

6.
Запишите интеграл Дирихле.
- $\frac { 1 }{ \pi }$
- $\int\limits _{ -\pi }^{ \pi }$
- ${ D }_{ n }(t-x)$
- $f(t)$
- $dt$

Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

максимум из 18 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$ .

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| <\varepsilon.$

Запишем неравенство Бесселя:
$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\| }^{ 2 },$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута для любого элемента $f\in R$ , то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } \right\| ={ \left\| f \right\| }^{ 2 }.$

Доказательство

Т.к. система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута — найдутся такие $n\in N$ и коэффициенты $c,\quad …\quad { c }_{ n }$ , что
${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 }.$
В силу свойства минимальности коэффициентов Фурье и следствия 1 из него имеем:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } ={ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }\le$
$\le{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ c_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 },$
откуда, благодаря неравенству Бесселя получаем:
$0\le { \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon }^{ 2 }$
Т.к. когда $n$ возрастает то выражение ${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } }$ убывает. Отсюда имеем, что для всех номеров $m\ge n$ справедливо неравенство:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon }^{ 2 },$
а это и означает, что
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } }.$

[свернуть]

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута в $R$ , то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }) } { \varphi }_{ k } \right\| } =0.$

Доказательство

Доказательство следует из теоремы 1 и следствия 1 из свойства минимальности коэффициентов Фурье. В силу равенства Парсеваля:
${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }){ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }={ \left\| f \right\| }^{ 2 }-{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } }\rightarrow 0\, ,$
$(n\rightarrow \infty ).$

[свернуть]

Определение

$\{ { \varphi }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $f\in R$ . $\{ { \varphi }_{ k }\}$ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$ .

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Доказательство

Пусть $\{ { \varphi }_{ k }\}$ — полная ортонормированная система, $f$ — ортогональный ко всем $\ { \varphi }_{ k }\$ . Тогда все коэффициенты Фурье элемента $f$ по системе $\{ { \varphi }_{ k }\}$ равны нулю и, в силу равенства Парсеваля:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ 0 } =0.$
Из аксиом нормы следует, что $f$ — нулевой элемент пространства $R.$

[свернуть]

Литература

M390. Сумма цифр числа

Задача из журнала «Квант» (1976, №6)

Условие

Докажите что существует бесконечно много натуральных ${n}$ , для которых сумма цифр числа ${2}^{n}$ больше суммы цифр числа ${2}^{n+1}.$

Решение

Рис.1

Решение этой задачи основано на двух фактах.

I Остатки чисел $1,\quad 2,\quad { 2 }^{ 2 },\quad { 2 }^{ 3 }…$ при делении на 9 образуют периодическую последовательность, изображенную на рисунке 1.

II Количество цифр в числе ${2}^{n}$ не превосходит

$\lg{{ 2 }^{ n }}+1=n\cdot \lg{2}+1\le \frac { n }{ 3 } +1.$

Покажем, что эти два факта находятся в противоречии с предположением:

III $s({ 2 }^{ n })\le s({ 2 }^{ n+1 })$

для всех ${n}$ , не меньших некоторого ${N}$ , где ${s(a)}$ — сумма цифр числа ${a}.$

Отсюда будет следовать, что III неверно, а это и требуется доказать в задаче.

Допустим, что III верно, то есть что для всех ${n\ge N}$ сумма цифр ${2}^{n}$ все время возрастает. Тогда согласно I для ${n\ge N}$ при переходе от ${2}^{n}$ до ${2}^{n+6}$ (за один период) сумма цифр увеличивается не меньше, чем на

${1+2+4+8+7+5=27}.$

(Мы рассуждаем так: если ${a}$ дает при делении на ${9}$ остаток ${8}$ , ${b}$ — остаток ${7}$ и ${a<b}$ , то разность ${b-a}$ не меньше ${8}$ ; оценки для разностей указаны на рисунке 1 красным цветом). Итак,

$s({ 2 }^{ n+6 })\le s({ 2 }^{ n })+27.$

Значит, при ${n=N+6k}$ , где ${k\ge 1}$ , будет $s({ 2 }^{ n })=s({ 2 }^{ N+6k })\ge { s(2 }^{ N })+27k=\cfrac { 9 }{ 2 } n-\cfrac { 9 }{ 2 } N+s({ 2 }^{ N }).$

Поскольку все цифры не больше 9, согласно II

$s({ 2 }^{ n })\le 9(\frac { n }{ 3 } +1).$

Таким образом, при всех ${n=N+6k}$ должно выполняться неравенство

$\frac { 9 }{ 2 } n-A\le s({ 2 }^{ n })\le 3n+9.$

(здесь $A$ — число, не зависящее от $n$ ). Но поскольку $\frac { 9 }{ 2 } >3$ , это, очевидно, неверно(при всех $n>2(A+9)/3$ ). Полученное противоречие доказывает, что предположение III неверно.

Автор: Максим Носов

Ряды Фурье по тригонометрической системе

Свойства ядра Дирихле

Следствие

Теорема(принцип локализации)

Разложение в ряд Фурье линейной функции ( $f\left( x \right) =kx+b$ )

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Определение

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Теорема 2

Определение

Теорема 3

Литература

M390. Сумма цифр числа

Задача из журнала «Квант» (1976, №6)

Условие

Решение

Средний результат
Ваш результат

Свойства ядра Дирихле

Следствие

Теорема(принцип локализации)

Разложение в ряд Фурье линейной функции (f(x)=kx+bf\left( x \right) =kx+b)

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

Определение

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Теорема 2

Определение

Теорема 3

Литература

Задача из журнала «Квант» (1976, №6)

Условие

Решение

Разложение в ряд Фурье линейной функции ( $f\left( x \right) =kx+b$ )