Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$.

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi  }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\| <\varepsilon.$$

Запишем неравенство Бесселя:
$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\|  }^{ 2 },$$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ замкнута для любого элемента $f\in R$, то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } }  \right\| ={ \left\| f \right\|  }^{ 2 }.$$

Доказательство

Т.к. система $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ замкнута — найдутся такие $n\in N$ и  коэффициенты $c,\quad …\quad { c }_{ n }$, что
$${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi  }_{ k } }  \right\|  }^{ 2 }<{ \varepsilon  }^{ 2 }.$$
В силу свойства минимальности коэффициентов Фурье и следствия 1 из него имеем:
$${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } ={ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }\le $$
$$\le{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ c_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 },$$
откуда, благодаря неравенству Бесселя получаем:
$$0\le { \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon  }^{ 2 }$$
Т.к. когда $n$ возрастает то выражение ${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } $ убывает. Отсюда имеем, что для всех номеров $m\ge n$ справедливо неравенство:
$${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon  }^{ 2 },$$
а это и означает, что
$${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } }.$$

[свернуть]

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ замкнута в $R$, то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi  }_{ k }) } { \varphi  }_{ k } \right\|  } =0.$$

Доказательство

Доказательство следует из теоремы 1 и следствия 1 из свойства минимальности коэффициентов Фурье. В силу равенства Парсеваля:
$${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }){ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }={ \left\| f \right\| }^{ 2 }-{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } }\rightarrow 0\, ,$$
$$(n\rightarrow \infty ).$$

[свернуть]

Определение

$\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $ f\in R$. $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi  }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$.

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Доказательство

Пусть $\{ { \varphi  }_{ k }\}$ — полная ортонормированная система, $f$ — ортогональный ко всем $\ { \varphi  }_{ k }\ $. Тогда все коэффициенты Фурье элемента $f$ по системе $\{ { \varphi  }_{ k }\} $ равны нулю и, в  силу равенства Парсеваля:
$${ \left\| f \right\|  }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (f,{ \varphi  }_{ k }) }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ 0 } =0.$$
Из аксиом нормы следует, что $f$ — нулевой элемент пространства $R.$

[свернуть]

Литература

Замкнутые и полные ортонормированные системы: 1 комментарий

  1. В доказательстве теоремы 3 изначальная система должна быть не полной, а замкнутой.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *