Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Если функция $f$ имеет производные всех порядков на промежутке $(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и все эти производные ограничены в совокупности, т.е. существует такое число $L>0$, что для всех $x\in(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и всех $n=0,1,2,…$ выполняется:

$\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$,

(где $L$ не зависит от $n$), то функция $f$ представляется рядом Тейлора:

[latex]f(x)=f(x_{0})+\frac{f^{‘}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{»}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+…[/latex], $\left|x-x_{0}\right|\leq R$

Доказательство:

Каким бы не было число $a$,

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

Пусть $n_{0}$ такое , что $\frac{\left|a\right|}{n_{0}}<\frac{1}{2}$. Тогда при всех $n\geq n_{0}$ $\frac{\left|a\right|}{n}<\frac{1}{2}$, и поэтому

$\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}\frac{a}{n_{0}+1}\cdot\frac{a}{n_{0}+2}…\frac{a}{n}<\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}(\frac{1}{2})^{n-n_{0}}$,

где правая часть неравенства стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$, откуда и следует, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$. Это равенство следует и из того что, выражение $\frac{a^{n}}{n!}$ является общим членом сходящегося ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^{n}}{n!}}$. Для того чтобы доказать формулу $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}$, достаточно убедится, что

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$,

где $r_{n}(x)$ — остаточный член в формуле Тейлора функции $f$. Возьмем $r_{n}(x)$ в форме Лагранжа ($r_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$). Из $\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$ следует, что

$\left|r_{n}(x)\right|=\left|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\right|\leq L\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}$,

где $\left|\xi-x_{0}\right|<\left|x-x_{0}\right|<R$. Поскольку в силу $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}=0$,

то при $\left|x-x_{0}\right|<R$ выполняется условие $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$, что и требовалось доказать.

Тест:

Тест на тему: «Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора».

Производная по направлению

Определение:

Пусть [latex]f(x, y, z)[/latex] – действительная функция на открытом множестве [latex]G \subset R^{n}[/latex], [latex]M(x, y, z)[/latex] — внутренняя точка области G и [latex]\vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}[/latex] – единичный фиксированный вектор из [latex]R^{n}[/latex]. Найдется такое число [latex]t[/latex], что: [latex]x=x_{0}+tcos\alpha, y=y_{0}+tcos\beta, z=z_{0}+tcos\gamma[/latex]. Если существует конечный предел

[latex]\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}[/latex],

то его называют производной функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по направлению вектора [latex]\vec{u}[/latex] и обозначают [latex]\frac{\delta f}{\delta u}(x_{0})[/latex].

231

Это скорость изменения функции в направлении [latex]\vec{u}[/latex].

При [latex]\alpha=0[/latex] получаем частную производную по [latex]x[/latex] и т.д.

Теорема: О вычислении производной по направлению

Формулировка:

Пусть действительная функция [latex]f(x, y, z)[/latex] на открытом множестве [latex]G \subset R^{3}[/latex] дифференцируема в точке [latex]M(x, y, z)\in G[/latex]. Тогда в этой точке функция [latex]f[/latex] имеет производные по направлению любого единичного вектора [latex]\vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}[/latex], причем справедливо равенство,

[latex]\frac{\delta f}{\delta \vec{u}}(x_{0}, y_{0}, z_{0})=\frac{\delta f}{\delta x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\alpha+\frac{\delta f}{\delta y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\beta +\frac{\delta f}{\delta z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})cos\gamma[/latex].

Эта формула является следствием правила нахождения производной сложной функции.

Доказательство (По определению дифференцируемости):

[latex]f(x_{0}+h, y_{0}+h, z_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=A(h)+o(\left|h \right|)[/latex] [latex](h\rightarrow 0)[/latex],

где [latex]A = df(x_{0}, y_{0}, z_{0})[/latex]. Пусть [latex]\vec{u}[/latex] – единичный вектор. Положим [latex]h = t\vec{u}[/latex] и, в силу линейности формы A, получим

[latex]f(x_{0}+tcos\alpha , y_{0}+tcos\beta , z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})=tA(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)+o(t)[/latex] [latex](t\rightarrow 0)[/latex].

Отсюда, разделив на [latex]t[/latex] обе части, будем иметь

[latex]\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}=A(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)[/latex],
что и требовалось доказать.

Спойлер

Найти производную функции $z(x,y)=3x^{2}y-4x^{2}y^{3}$ в точке $M(1,2)$ в направлении $\vec{l}(4, -3)$.
Находим частные производные
$\frac{\delta z}{\delta x}=6xy-8y^{3}x$
$\frac{\delta z}{\delta y}=3x^{2}-12y^{2}x^{2}$
Считаем эти производные в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta x}(1,2)=12-64=-52$
$\frac{\delta z}{\delta y}(1,2)=3-48=-45$
Находим длину вектора
$\left|\vec{l} \right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$
$\vec{l_{0}}=\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$
$\cos{\alpha }=\frac{4}{5}$, $\cos{\beta }=-\frac{3}{5}$
Находим производную по направлению в точке $M(1,2)$
$\frac{\delta z}{\delta l}(M_{0})=-52\cdot \frac{4}{5}+45\cdot \frac{3}{5}=-14.6$

[свернуть]

Литература



Тест:

Тест на тему: «Производная по направлению».

M1578

Задача из журнала «Квант» (1997, №1)

Условие

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции [latex]y=f(x)[/latex], определенной при всех [latex]x[/latex], для которой

[latex]f(f(x))=x^{2}-1997[/latex].

Решение

Основная идея решения: разобраться, как устроены орбиты отображения [latex]x\rightarrow g(x)=x^{2}-1997[/latex], т.е. последовательность

[latex]x, g(x), g(g(x)),…[/latex]

Нетрудно видеть, что при достаточно большом [latex]q[/latex], скажем, [latex]q>1[/latex] (в частности, при [latex]q=1997[/latex]), функция [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex] имеет две неподвижные точки — это корни уравнения [latex]g(x)=x[/latex]; обозначим их [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex]. Кроме [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], уравнение [latex]g(g(x))=x[/latex] имеет еще два корня — обозначим их [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex]. Чтобы их найти, достаточно заметить, что многочлен

[latex]g(g(x))-x=(x^{2}-q)^{2}-q-x[/latex]

делится на [latex]g(x)-x=x^{2}-x-q[/latex] и разложить его на множители:

[latex]x^{4}-2qx^{2}-x+q^{2}-q=(x^{2}-x-q)(x^{2}+x-q+1)[/latex];

[latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — корни первого из трехчленов, [latex]u[/latex] и [latex]v[/latex] — второго. Они существуют и различны при [latex]1+4(q-1)>0[/latex],
4
т.е. при [latex]q>3/4[/latex]. При этом [latex]g(u)=v[/latex], [latex]g(v)=u[/latex]. Все это хорошо видно из рисунка. Таким образом, точки [latex]u[/latex], [latex]v[/latex] образуют единственный цикл [latex]u\rightarrow v\rightarrow u[/latex] порядка 2 отображения [latex]x\rightarrow g(x)[/latex].
Предположим теперь, что [latex]g(x) = f(f(x))[/latex]. Ясно, что неподвижные точки и циклы порядка 2 функции [latex]f[/latex] — это неподвижные точки функции [latex]g[/latex], и обратно: если [latex]f(a)=f(f(c))=c[/latex], т.е. [latex]c=a[/latex] или [latex]c=b[/latex].
А цикл порядка 2 функции [latex]g[/latex] должен получаться из цикла порядка 4 функции [latex]f[/latex]: если [latex]f(u)=z[/latex], то [latex]f(z)=v[/latex]; если [latex]f(v)=w[/latex], то [latex]f(w)=u[/latex]. При этом [latex]z[/latex], [latex]w[/latex] отличны от [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]v[/latex], [latex]u[/latex](и друг от друга). Но тогда [latex]g(z)=f(f(z))=w[/latex], [latex]g(w)=z[/latex].
Таким образом, у функции [latex]g[/latex] должен быть еще один цикл порядка 2, отличный от [latex]u\rightarrow v\rightarrow u[/latex]. А такого у функции [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex] нет.
Замечание Поскольку в задаче допускаются и разрывные функции [latex]f[/latex], мы никак не можем использовать специфические свойства множества R, на котором определена функция [latex]g(x)=x^{2}-q[/latex], и поэтому единственная информация о ней, которую нужно использовать — это структура орбит: сколько из них конечных(циклических), какие сливаются в одну орбиту и т.п.