Автор: Яков Юсипенко

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\
2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1
\end{array}
\right.
$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.$$
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
4 & -6 & 2 & 3 \\
2 & -3 & -11 & -15
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & -16 & -22
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$
$$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
$$Последняя матрица равносильна следующей системе:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
& &-8x_3&-11x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.$$ $$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.
$$Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\
4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\
3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0
\end{array}
\right. $$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.$$A = \left(\left.\begin{matrix}
1 & 2 & 4 & -3 \\
3 & 5 & 6 & -4 \\
4 & 5 & -2 & 3 \\
3 & 8 & 24 &-19
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&-3&-18&15\\
0&2&12&-10
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$ $$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)$$Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$.$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
&-x_2&-6x_3&-15x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Общее решение исходной СЛАУ:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\
x_2 & = &-6x_3 &+5x_4
\end{array}
\right.
$$ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных:$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & & & 1 & 0\\
\hline
c_2 & & & 0 & 1
\end{array}$$Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\
\hline
c_2 & -7 & 5 & 0 & 1
\end{array}$$Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$.

Литература

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Система $$ \left\{
   \begin{array}{l l}
   2x_1&+5x_2&-8x_3&=8 \\
   4x_1&+3x_2&-9x_3&=9 \\
   2x_1&+3x_2&-5x_3&=7\\
   x_1&+8x_2&-7x_3&=12
   \end{array}
   \right.
   $$ имеет единственное решение: $(x_1, x_2, x_3)$

   • ( (3), (2), (1))
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — частное решение системы
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l l}
   6x_1&+4x_2&+5x_3&+2x_4&+3x_5&=1 \\
   3x_1&+2x_2&+4x_3&+x_4&+2x_5&=3 \\
   3x_1&+2x_2&-2x_3&+x_4 & &=-7 \\
   9x_1&+6x_2&+x_3&+3x_4&+2x_5&=2
   \end{array}
   \right.
   $$
   и $x_2=8, x_3=13, x_4=0, x_5=-34$, тогда $x_1$ будет равным:
   Правильно
   

   Неправильно
   

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.

Задача

Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Решение

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\
\frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\
\frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0.
\end{array}
\right.
$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
x=m,\\
x\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
x^4-4m^3+48=0, \\
m\ne0,
\end{array}
\right.$$

$$\left\{
\begin{array}{}
m=2, \\
m=-2.
\end{array}
\right.
$$
Ответ: $\pm$2.

Литература

• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 1 заданий окончено

Вопросы:

1. 1

Информация

Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 1

   1.

   Необходимо поставить в соответствие условие, при котором утверждение будет верным.

   Элементы сортировки

   • $3125b^2+108a^5=0$; $a\ne0$
   • $b+9a^2$; $1728a^5+c^2=0$
   • $b=0$; $1728a^5+c^2=0$

   • Многочлен $x^5+ax^3+b$ имеет корень второй кратности, отличный от нуля при условии:

   • Многочлен $x^5+10ax^3+5bx+c$ имеет корень третей кратности, отличный от нуля, при условии:

   • Лишнее условие:

   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $A\ne\varnothing$, тогда $n$-арной операцией $*$, определенной на множестве $A$,
называется отображение $*:A^{n}\to A$, такое что $\forall(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\in A^n$
$(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\xrightarrow{\text{ * }}a_{n+1}\in A$.

При $n=2$ операция называется бинарной алгебраической операцией (БАО).

Операция является БАО, если удовлетворяет следующим условиям:

1. Всюдуопределенность: к любой паре $a$ и $b$ можно применить операцию $*$;
2. Однозначность: элемент, который ставится в соответствие паре — единственный;
3. Замкнутость: элемент, который ставится в соответствие паре $a$, $b$ также принадлежит рассматриваемому множеству;

$$\forall a,b\in A \exists!c: (a,b)\xrightarrow{*}c \wedge c\in A $$

Примеры БАО:

• «+» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
• «$\times$» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
• $*$ на $A=\mathbb{Z}, \forall a,b \in A, a*b=(a+b)^2$
• «+» на $A=\mathbb{R^2}$, $\forall(a,b), (c,d)\in A$: $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$

Литература:

• Конспект лекций Г.С. Белозерова
• Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
• Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

В каждом задании теста необходимо определить, является ли операция БАО.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Выберите ВСЕ НЕПРАВИЛЬНЫЕ утверждения.
   Операция $*$ определенная на множестве всех действительных чисел, такая что $a*b=ab+a+1$

   • является БАО.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие всюдуопределенности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие однозначности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие замкнутости.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Выберите правильное утверждение.
   Операция $*$ определенная на множестве всех действительных чисел, такая что $a*b=\frac{b}{a^2}$

   • является БАО.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие всюдуопределенности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие однозначности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие замкнутости.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Выберите правильное утверждение.
   Операция $*$ определенная на множестве натуральных чисел, такая что $a*b=ОБ(a,b)$, где ОБ — общий делитель,

   • является БАО.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие всюдуопределенности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие однозначности.
   • не является БАО, т.к. не выполнено условие замкнутости.
   Правильно
   

   Неправильно