Яков Юсипенко

Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l l} 2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\ 4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\ 2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1 \end{array} \right.$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

$\left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \sim \left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & -16 & -22 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim$

$\sim \left(\left.\begin{matrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -8 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)$ Последняя матрица равносильна следующей системе:

$\left\{ \begin{array}{l l} 2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\ & &-8x_3&-11x_4&=0 \end{array} \right.$ Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например

$x_1$ и

$x_3$ , и выразим через них остальные (свободные) переменные:

$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\ x_3&=-\frac{11}{8}x_4 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\ x_3&=-\frac{11}{8}x_4 \end{array} \right.$ Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например

$x_2=1$ и

$x_4=0$ , тогда

$x_1=2$ ,

$x_2=1$ ,

$x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\ 3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\ 4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\ 3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0 \end{array} \right.$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.

$A = \left(\left.\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & -3 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \\ 3 & 8 & 24 &-19 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim \left(\left.\begin{matrix} 1&2&4&-3\\ 0&-1&-6&5\\ 0&-3&-18&15\\ 0&2&12&-10 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \sim$

$\sim \left(\left.\begin{matrix} 1&2&4&-3\\ 0&-1&-6&5\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)$ Заметим, что

$\mathrm{rang}A=2$ .

$\left\{ \begin{array}{l l} x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\ &-x_2&-6x_3&-15x_4&=0 \end{array} \right.$ Общее решение исходной СЛАУ:

$\left\{ \begin{array}{l l} x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\ x_2 & = &-6x_3 &+5x_4 \end{array} \right.$ ФСР состоит из

$k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где

$n$ — количество переменных. В нашем случае

$k=2$ , значит ФСР будет состоять из двух векторов

$c_1$ и

$c_2$ . Возьмем произвольные значения свободных переменных:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline c_1 & & & 1 & 0\\ \hline c_2 & & & 0 & 1 \end{array}$ Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\ \hline c_2 & -7 & 5 & 0 & 1 \end{array}$ Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система

$<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$ .

Литература

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Система $\left\{ \begin{array}{l l} 2x_1&+5x_2&-8x_3&=8 \\ 4x_1&+3x_2&-9x_3&=9 \\ 2x_1&+3x_2&-5x_3&=7\\ x_1&+8x_2&-7x_3&=12 \end{array} \right.$ имеет единственное решение: $(x_1, x_2, x_3)$
- ( (3), (2), (1))
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — частное решение системы
$\left\{ \begin{array}{l l} 6x_1&+4x_2&+5x_3&+2x_4&+3x_5&=1 \\ 3x_1&+2x_2&+4x_3&+x_4&+2x_5&=3 \\ 3x_1&+2x_2&-2x_3&+x_4 & &=-7 \\ 9x_1&+6x_2&+x_3&+3x_4&+2x_5&=2 \end{array} \right.$
и $x_2=8, x_3=13, x_4=0, x_5=-34$ , тогда $x_1$ будет равным:
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Спойлер

Пусть $f(x)\in\mathbb{P}[x]$ и $f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$ .
Значением многочлена на элементе $\alpha$ $(\alpha\in\mathbb{P})$ называется
$f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+…+a_1\alpha+a_0\in\mathbb{P}$ .

Если значение многочлена на элементе $\alpha$ равно нулю, т.е. $f(\alpha)=0$ , то
$\alpha$ называется корнем многочлена $f(x)$ .

Число $\alpha$ называется $k$ кратным корнем многочлена $f(x)$ если многочлен делится на
$(x-\alpha)^k$ , $k>1$ ( $k$ — натуральное число), но не делится на $(x-\alpha)^{k+1}.$

[свернуть]

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$ , и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$ . Имеем:

	1	-5	3	22	-44	24
2	1	-3	-3	16	-12	0

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$ . Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

	1	-5	3	22	-44	24
2	1	-3	-3	16	-12	0
2	1	-1	-5	6	0
2	1	1	-3	0
2	1	3	3

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$ , т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$ , но не делится на $(х-2)^ 4$ . А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$ .

Спойлер

Число $\alpha$ является корнем кратности $k$ многочлена $f(x)$
тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
$f(x)=0, \; \frac{df}{dx}(\alpha)=0,…, \frac{d^{k-1}f}{dx^{k-1}}(\alpha)=0, \; \frac{d^kf}{dx^k}(\alpha)\ne0.$

[свернуть]

Задача

Найти все значения параметра $m$ , при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Решение

$\left\{ \begin{array}{l l} f(x)=x^4-4m^3+48=0, \\ \frac{df}{dx}=4x^3-4m^3=0, \\ \frac{d^2f}{dx^2}=12x^2\ne0. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{} x^4-4m^3+48=0, \\ x=m,\\ x\ne0, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{} x^4-4m^3+48=0, \\ m\ne0, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{} m=2, \\ m=-2. \end{array} \right.$
Ответ:

$\pm$ 2.

Литература

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест

Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.

Задание 1 из 1

1.

Необходимо поставить в соответствие условие, при котором утверждение будет верным.

Элементы сортировки

$3125b^2+108a^5=0$ ; $a\ne0$
$b+9a^2$ ; $1728a^5+c^2=0$
$b=0$ ; $1728a^5+c^2=0$

Многочлен

$x^5+ax^3+b$ имеет корень второй кратности, отличный от нуля при условии:

Многочлен

$x^5+10ax^3+5bx+c$ имеет корень третей кратности, отличный от нуля, при условии:

Лишнее условие:

Таблица лучших: Кратность корней

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Бинарная алгебраическая операция

Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $A\ne\varnothing$ , тогда $n$ -арной операцией $*$ , определенной на множестве $A$ ,
называется отображение $*:A^{n}\to A$ , такое что $\forall(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\in A^n$
$(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})\xrightarrow{\text{ * }}a_{n+1}\in A$ .

При $n=2$ операция называется бинарной алгебраической операцией (БАО).

Операция является БАО, если удовлетворяет следующим условиям:

Всюдуопределенность: к любой паре $a$ и $b$ можно применить операцию $*$ ;
Однозначность: элемент, который ставится в соответствие паре — единственный;
Замкнутость: элемент, который ставится в соответствие паре $a$ , $b$ также принадлежит рассматриваемому множеству;

$\forall a,b\in A \exists!c: (a,b)\xrightarrow{*}c \wedge c\in A$

Примеры БАО:

«+» на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
« $\times$ » на множествах $\mathbb{Z, R, Q}$
$*$ на $A=\mathbb{Z}, \forall a,b \in A, a*b=(a+b)^2$
«+» на $A=\mathbb{R^2}$ , $\forall(a,b), (c,d)\in A$ : $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$

Литература:

Конспект лекций Г.С. Белозерова
Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В каждом задании теста необходимо определить, является ли операция БАО.

Таблица лучших: БАО

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Задача

Решение:

Задача

Решение:

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: СЛАУ

Задача

Решение

Задача

Решение

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Кратность корней

Примеры БАО:

Литература:

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: БАО