Processing math: 100%

Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

{2x13x2+5x3+7x4=14x16x2+2x3+3x4=22x13x211x315x4=1

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.(23574623231115|121)(235700811001622|100)


(2357008110000|100)
Последняя матрица равносильна следующей системе:{2x13x2+5x3+7x4=18x311x4=0
Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например x1 и x3, и выразим через них остальные (свободные) переменные:{x1=1+3x25x37x42x3=118x4
{x1=1+3x218x42x3=118x4
Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например x2=1 и x4=0, тогда x1=2, x2=1, x3=x4=0 является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

{x1+2x2+4x33x4=03x1+5x2+6x34x4=04x1+5x22x3+3x4=03x1+8x2+24x319x4=0

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.A=(124335644523382419|0000)(12430165031815021210|0000)

(1243016500000000|0000)
Заметим, что rangA=2.{x1+2x2+4x33x4=0x26x315x4=0
Общее решение исходной СЛАУ:{x1=+8x37x4x2=6x3+5x4
ФСР состоит из k=(nrangA) векторов, где n — количество переменных. В нашем случае k=2, значит ФСР будет состоять из двух векторов c1 и c2. Возьмем произвольные значения свободных переменных:x1x2x3x4c110c201
Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
x1x2x3x4c18610c27501
Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система <(8,6,1,0),(7,5,0,1)>.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Корни многочлена. Выявление кратных корней многочлена

Спойлер

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена f(x)=x55x4+3x3+22x244x+24, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли f(x) на (x2). Имеем:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0

Остаток при делении f(x) на (х2) равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена f(x). Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0
2 1 -1 -5 6 0
2 1 1 -3 0
2 1 3 3

Видно, что f(x) делится на (х2)3, т.е. f(x)=(x2)3(x2+x3), но не делится на (х2)4. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена f(x).

Спойлер

Задача

Найти все значения параметра m, при которых многочлен f(x)=x44m3x+48 имеет корень кратности 2.

Решение

{f(x)=x44m3+48=0,dfdx=4x34m3=0,d2fdx2=12x20.

{x44m3+48=0,x=m,x0,

{x44m3+48=0,m0,

{m=2,m=2.


Ответ: ±2.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.143-147.

Тест

Необходимо определить при каком условии число является корнем заданной кратности.

Таблица лучших: Кратность корней

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных


Бинарная алгебраическая операция


Пусть nN и A, тогда n-арной операцией , определенной на множестве A,
называется отображение :AnA, такое что (a1,a2,,an)An
(a1,a2,,an) * an+1A.

При n=2 операция называется бинарной алгебраической операцией (БАО).

Операция является БАО, если удовлетворяет следующим условиям:

  1. Всюдуопределенность: к любой паре a и b можно применить операцию ;
  2. Однозначность: элемент, который ставится в соответствие паре — единственный;
  3. Замкнутость: элемент, который ставится в соответствие паре a, b также принадлежит рассматриваемому множеству;

a,bA!c:(a,b)ccA

Примеры БАО:

  • «+» на множествах Z,R,Q
  • «×» на множествах Z,R,Q
  • на A=Z,a,bA,ab=(a+b)2
  • «+» на A=R2, (a,b),(c,d)A: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В каждом задании теста необходимо определить, является ли операция БАО.

Таблица лучших: БАО

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных