Интегральный признак

Интегральный признак сходимости ряда

Формулировка

Дана функция [latex]f[/latex] определенная при всех [latex]x\geq1[/latex], неотрицательна и убывает, тогда ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}f(n)[/latex] сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}[/latex].

Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке [latex]\left[1,+\infty \right][/latex], тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке [latex]\left[1,\eta \right][/latex], и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если [latex]k\leq x\leq k+1[/latex], тогда [latex]f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, …[/latex] (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство [latex]\left[k,k+1\right][/latex] имеем: [latex]f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, …[/latex].
integral_sign(1)
Суммируя от [latex]k=1[/latex] до [latex]k=n[/latex] (рис. 2) получим:

[latex]\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq \sum\limits_{k=1}^{n}{f(k+1)}[/latex]

integral_sign(2)
Положим [latex]s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}[/latex], будем иметь

[latex]s_{n}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq s_{n+1}-f(1)[/latex]
[latex]n=1,2, …[/latex]

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности [latex]f[/latex] справедливо неравенство:

[latex]\int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq \int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}[/latex].

Отсюда следует:

[latex]s_{n+1}\leq f(1)+\int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}[/latex],

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна [latex]s[/latex], тогда [latex]\forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s[/latex]  и следовательно [latex]\forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s[/latex].
Пусть [latex]\xi[/latex], то беря n, так чтобы [latex]n\geq \xi[/latex], в силу неотрицательности функции имеем [latex]\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s[/latex].
Таким образом совокупность всех интегралов [latex]\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}[/latex] ограничена сверху, поэтому интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}[/latex] сходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.
Так как данная функция [latex]f(n)=\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}[/latex] определенна при всех [latex]n\geq1[/latex], неотрицательна и убывает, то воспользуемся  интегральным признаком сходимости ряда.
Проверим сходимость интеграла [latex]\int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}[/latex].

[latex]\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty }{(2x+3)^{-\frac{7}{6}}d(2x+3)}=-\frac{1}{2}*6*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)}} \right)\left.\right |^b_1=-3*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{2b+3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{5}} \right )=\frac{3}{\sqrt[6]{5}}[/latex]

Интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

[latex]n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}[/latex]
[latex]n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}[/latex]

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_{n+1}\geq a_{n}>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{1-K}{2}[/latex], тогда [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же [latex]K>1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{K-1}{2}[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1[/latex].

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Пусть [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}[/latex]. Так как [latex]0<q<1[/latex], то ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}[/latex] будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] так же является сходящимся.

Если [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex]  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  [latex]K>1[/latex], то [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если, начиная с какого-то номера [latex]N\varepsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>N[/latex] выполняется неравенство [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex], тогда:

  1. Из сходимости ряда [latex](B)[/latex] следует сходимость ряда [latex](A)[/latex].
  2. Из расходимости ряда [latex](A)[/latex] следует расходимость ряда [latex](B)[/latex].

Доказательство

  1. [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] обозначим как [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] и [latex]S_{n}^{(B)}[/latex]. Из условия [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex] можно сказать, что [latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] ограничены, а значит [latex]S_{n}^{(B)}[/latex] также будут ограничены ([latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд [latex](B)[/latex] тоже будет сходиться.
  2. Пусть ряд [latex](A)[/latex] расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд [latex](B)[/latex] сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](A)[/latex] тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд [latex](B)[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K[/latex]      [latex]0<K< +\infty[/latex]

Тогда:

  1. Если ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K<+\infty[/latex], то ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], то ряд  [latex](A)[/latex] расходится.

Доказательство

  1. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K< +\infty[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Из неравенства получим: [latex]a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )[/latex]. Ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )[/latex] сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда [latex](B)[/latex] на постоянное число [latex]K+\varepsilon[/latex]. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], тогда отношение [latex]\frac{b_{n}}{a_{n}}[/latex] имеет конечный предел [latex]\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty[/latex]. Предположим что ряд [latex](A)[/latex] сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](B)[/latex] тоже сходится, что противоречит условию. Значит [latex](A)[/latex] расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

[latex]\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})[/latex]

Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}[/latex] сходится при [latex]\alpha >1[/latex].

[latex]\frac{3}{2}>1[/latex] значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

M1916. О делении равностороннего треугольника на 25 равносторонних

Задача из журнала «Квант» (2004, №4)

Условие

Равносторонний треугольник разрезан на 25 равносторонних треугольников, лишь один из которых имеет отличную от 1 площадь. Какую?

Решение

Поменяем формулировку задачи на эквивалентную, но более удобную для изложения решения:

Исходный равносторонний треугольник [latex]\Delta[/latex] разрезан на 25 равносторонних треугольников, только у одного из которых — обозначим его [latex]\Delta_{1}[/latex] — длина стороны [latex]k\neq 1[/latex]. Требуется найти [latex]k[/latex].

Если длина стороны какого-либо равностороннего треугольника есть целое число [latex]a[/latex], то этот треугольник можно разрезать на [latex]a^{2}[/latex] равносторонних треугольников, у каждого из которых длина стороны [latex]1[/latex].

Хотя бы к одной стороне треугольника [latex]\Delta[/latex] не примыкает треугольник [latex]\Delta_{1}[/latex], а значит, примыкают только треугольники со сторонами [latex]1[/latex], т.е. длина стороны [latex]\Delta[/latex] — целое число [latex]n[/latex]. Точно так же можно рассудить что длина треугольника [latex]\Delta_{1}[/latex] -целое число [latex]k[/latex]. После чего можно записать равенство [latex]n^{2}-k^{2}=24[/latex]. Это целочисленное уравнение, с учетом того, что  [latex]k\neq 1[/latex], имеет только одно удовлетворяющее нас решение: [latex]n=7, k=5[/latex]. У этого решения возможны два воплощения (см. рисунок). На вопрос «какую?» отвечаем: [latex]25[/latex].

M1916

В.Произволов