Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$ .
Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$ .
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx }$ .
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } }$
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

Спойлер

Пусть нам дана функция $z(x,y)$ , которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ . Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$ . Проведем плоскость $y={y}_{0}$ . Плоскость пересечет поверхность по линии $T{ P }_{ 0 }$ . Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$ . Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$ . Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ .
${\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })$

[свернуть]

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенные слова.
- Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется (смешанной) частной производной. Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по одной переменной, называется (чистой) частной производной
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Выставьте производные функции z, в порядке их образования.
- $\frac { dz }{ dx }$
- $\frac { dz }{ dxdy }$
- $\frac { dz }{ dxd{ y }^{ 4 } }$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Будет ли производная $\frac { dz }{ dt }$ смешанной производной функции $z$ ?
- Да, будет
- Нет, не будет
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

В данной статье, используя термин «сложная функция», мы будем понимать композицию нескольких функций.

Теорема

Пусть функции ${ \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },…,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m }$ дифференцируемы в точке ${ x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },…,{ x }_{ n }^{ \circ })$ . Пусть функция $f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },…{ ,y }_{ m })$ дифференцируема в точке ${ y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),…,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ }))$ .

Тогда сложная функция $T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…,{ \varphi }_{ m }(x))$ дифференцируема в точке ${ x }^{ \circ }$ , причем при ${ x\rightarrow x }^{ \circ }$

$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))}$

${A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)$

Спойлер

Функция $f(y)$ дифференцируема в точке ${ y }^{ \circ }$ , а значит, по теореме о существовании частных производных найдутся функции ${ { f }_{ j }( }y), j=\overline { 1,m }$ непрерывные в точке ${ y }^{ \circ }$ и такие, что $f(y)-f({ y }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { f }_{ j }(y)({ y }_{ j }-{ y }_{ j }^{ \circ }), } \quad \quad { f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ }) \quad \quad\quad \quad(2)$ Раз функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Используя это и теорему о непрерывности сложной функции, получим что функции: ${ \psi }_{ j }(x)={ f }_{ j }({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…{ \varphi }_{ m }(x)),\quad \quad j=\overline { 1,m }\quad \quad\quad \quad(3)$

непрерывны в точке ${ x }^{ \circ }$ (т.к функции ${\varphi}_{ i }(x)$ непрерывны, и по теореме указанной выше, их композиция также даст непрерывную функцию) , при этом
${ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })={ f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(4)$

Подставив в $(2)$ ${ y }_{ 1 }={ \varphi }_{ 1 }(x),…,{ y }_{ m }={ \varphi }_{ m }(x)$ и воспользовавшись $(3)$ получим:

$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \psi }_{ j }(x)({ \varphi }_{ j }(x)- } ({ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ }))\quad \quad\quad \quad(5)$

Но функции ${ \varphi }_{ j }(x)$ дифференцируемы в точке ${ x }^{ \circ }$ (по условию), поэтому найдутся такие непрерывные в точке ${ x }^{ \circ }$ функции ${ \varphi }_{ ij }(x)$ , что ${ \varphi }_{ j }(x)-{ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \varphi }_{ ij }(x) } ({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }),\quad \quad { \varphi }_{ ij }({ x }^{ \circ })=\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(6)$

${ i=\overline { 1,n } }\quad { j=\overline { 1,m } }$

Подставляя выражения $(6)$ и $(5)$ получаем

$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { T }_{ i }(x)({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }) } \quad \quad { T }_{ i }(x)=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } (x){ \psi }_{ j }(x)\quad \quad\quad \quad(7)$

Так как функции ${ \psi }_{ j }(x)$ и ${ \varphi }_{ ij }(x)$ непрерывны в точке ${ x }^{ \circ }$ , то и ${ T }_{ i }(x)$ непрерывны в этой точке (как композиции непрерывных). А это означает, что сложная функция ${ T }(x)$ дифференцируема в ${ x }^{ \circ }$ .

Дифференцируемая функция ${ T }(x)$ может быть записан в виде $(1)$ с коэффициентами ${ A }_{ i }$ , равными в силу $(6)$ и $(4)$

${ A }_{ i }={ T }_{ i }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } ({ x }^{ \circ }){ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ d{ y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ d{ x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } } ({ x }^{ \circ })$

[свернуть]

Спойлер

Формула ${ A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum\limits _{ j=1 }\limits^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n }$ дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

[свернуть]

Спойлер

Пусть дана функция

$f(x,y)=\sin x + \tan (x^ 2+y^ 2)$ .
Ее можно представить как композицию функций:

$z(u,v)=u+v\quad u(x,y)=\sin x \quad v(x,y)=\tan (x^ 2+y^ 2)$
Тогда дифференциал функции

$f$ имеет вид:

$df=\frac { dz }{ dx } +\frac { dz }{ dy } =\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dx } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dx } +\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dy } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dy }$
Вычислим частные производные:

$\frac { dz }{ du } =1; \quad \frac { du }{ dx } =-\cos x;$

$\frac { dz }{ dv } =1; \quad \frac { dv }{ dx } =\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } ;$

$\frac { du }{ dy } = 0; \quad \frac { dv }{ dy } =\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } +y };$
Получаем, что:

$df=-\cos x +\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } +\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } + y^{ 2 }) }.$

[свернуть]

Использованная литература

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.248-249

Дополнительная литература

Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, 1964г. стр.386-390;
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г., стр. 253-256;

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Можно ли называть сложной функцией, функцию, полученную в результате композиции трех функций от четырех переменных?
- Да, можно
- Нет, нельзя
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Формула ${ A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ})\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ}),\quad i=\overline { 1,n }$ дает правило нахождения
Правильно

Неправильно

Подсказка

Два слова
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Какие теоремы используются при доказательстве теоремы о производной сложной функции?
- Теорема о существовании частных производных
- Теорема о непрерывности сложной функции
- Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- Неравенство Коши-Буняковского
- Теорема Шварца
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , и при этом

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования).

$\begin{equation}{ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \end{equation}$

Доказательство

Пусть

$f(x,y)$ определенна со своими частными производными

${ f }_{ x },\;{ f }_{ y },\;{ f }_{ xy },\;{ f }_{ yx }$ в некоторой

$\delta-$ окрестности точки

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ и пусть

$\Delta x$ и

$\Delta y$ зафиксированы так, что образуют шар с радиусом

$\delta$

$(\Delta { x }^{ 2 }+\Delta { y }^{ 2 }<{ \delta }^{ 2 })$ . (Под

$\Delta x$ будем понимать приращение функции

$f$ по аргументу

$x$ . Аналогично определим

$\Delta y$ )
Положим:

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f), { \Delta }_{ yx }f={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)$
и докажем, что

${ \Delta }_{ xy }f={ \Delta }_{ yx }f\label{2}$
Действительно,

$\begin{aligned} { \Delta }_{ xy }f&={ \Delta }_{ x }({ \Delta }_{ y }f)={ \Delta }_{ x }[f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })]=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{3}$
(т.е.

${ \Delta }_{ xy }f$ это приращение функции

$f$ сперва по

$y$ а затем по

$x$ )
Аналогично

$\begin{aligned} { \Delta }_{ yx }f&={ \Delta }_{ y }({ \Delta }_{ x }f)=\\ &=[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }+{ \Delta }y)]-\\ &-[f({ x }_{ 0 }+{ \Delta }x,{ y }_{ 0 })-f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })] \end{aligned}\label{4}$
Сравнивая (

$\ref{3}$ ) и (

$\ref{4}$ ), убедимся в справедливости (

$\ref{2}$ ).
Положим приращение функции

$f$ по переменной

$y$ как функцию одной переменной по

$x$ . Пусть

$\varphi (x)=f(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-f(x,{ y }_{ 0 })$ . Тогда

${ \Delta }_{ xy }f$ можно записать в виде:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })$
Так как , по условию существует производная

${ f }_{ x }$ то функция

$\varphi (x)$ дифференцируема на отрезке

$[{ x }_{ 0 },{ x }_{ 0 }+{ \Delta }x]$
Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях, получим:

${ \Delta }_{ xy }f=\varphi ({ x }_{ 0 }+\Delta x)-\varphi ({ x }_{ 0 })={ \varphi }^{ \prime }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x)\Delta x,\quad 0<{ \theta }_{ 1 }<1$
А поскольку

$\varphi (x)$ функция по переменной

$x$ , то ее производная будет:

${ \varphi }^{ \prime }(x)={ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }(x,{ y }_{ 0 })$
тогда мы можем записать

${ \Delta}_{ xy }f$ как

${ \Delta }_{ xy }f=[{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 }+\Delta y)-{ f }_{ x }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,{ y }_{ 0 })]\Delta x$
Применим опять формулу конечных приращений Лагранжа, но теперь по переменной

$y$ , получим:

${ \Delta }_{ xy }f={ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 1 },{ \theta }_{ 2 }<1$
Сделаем абсолютно аналогичные действия, но уже начнем с переменно

$x$ . Т.е, положим приращение

$f$ по переменной

$x$ в функцию одной переменной по

$y$

$\psi (y)=f({ x }_{ 0 }+\Delta x,y)-f({ x }_{ 0 },y)$
Также выразим

${ \Delta }_{ yx }f$ через

$\psi (y)$ , затем применим дважды формулу конечных приращений Лагранжа ( сначала по y, затем по x ). В итоге получим:

${ \Delta }_{ yx }f={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y)\Delta x\Delta y,\quad 0<{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Согласно равенству (2) правые части равенств равны. Приравняем их и сократим на

$\Delta x\Delta y$ (т.к.

$\Delta x\neq 0$ и

$\Delta y\neq 0$ ), получим

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 1 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 2 }\Delta y){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 }+{ \theta }_{ 4 }\Delta x,\quad { y }_{ 0 }+{ \theta }_{ 3 }\Delta y),\quad { 0<\theta }_{ 1 }{ ,\theta }_{ 2 },{ \theta }_{ 3 },{ \theta }_{ 4 }<1$
Так как частные производные

${ f }_{ xy }$ и

${ f }_{ yx }$ непрерывны в точке

$({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$ , перейдем к пределу. Так как

${ \theta }_{ i }$ -бесконечно малая то в итоге получим:

${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }){ =f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),$
что и требовалось доказать.

[свернуть]

Пример

Найти смешанные производные второго порядка функции ${ z={ x }^{ 4 } }-2{ x }^{ 2 }y^{ 3 }+{ y }^{ 5 }+1$

${ { z }_{ x }^{ \prime }={ 4x }^{ 3 } }-4{ x }y^{ 3 }$

${ { z }_{ y }^{ \prime }= }5{ y }^{ 4 }-6{ x }^{ 2 }y^{ 2 }$

${ { z }_{ yx }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 } \quad \quad \quad { { z }_{ xy }^{ \prime }= }-12{ x }y^{ 2 }\quad \quad { \Rightarrow \quad }{ z }_{ yx }^{ \prime }={ z }_{ xy }^{ \prime }$

[свернуть]

Контрпример

(пример Шварца):

$f(x,y)=\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+y^{ 2 } } \quad \quad { x }^{ 2 }+y^{ 2 }>0 \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad x=y=0 \end{cases}$

${ f }_{ xy }(0,0)=-1\quad \quad \quad \quad{ f }_{ yx }(0,0)=1$

[свернуть]

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2 (обобщение)

Если у функции

$n$ переменных смешанные частные производные

$m$ -го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка

$m$ не зависят от порядка дифференцирования.

Замечание 1

Пример

Докажем что

${ f }_{ xyz }={ f }_{ zxy }$
Последовательно меняем порядок дифференцирования, применяя Теорему 1:

${ f }_{ xyz }={ ({ f }_{ x }) }_{ yz }={ ({ f }_{ x }) }_{ zy }={ ({ f }_{ xz }) }_{ y }={ ({ f }_{ zx }) }_{ y }={ { f }_{ zxy } }$

[свернуть]

Замечание 2

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1962г. Том 1, стр.404-408;

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1568. Сечение пирамиды

Задача из журнала «Квант» (1996, №5, M1568)

Условие

Докажите что при $n\ge 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Решение

Пусть правильный (n+1) –угольник ${ B }_{ 1 }…{ B }_{ n }$ является сечением пирамиды $S{ A }_{ 1 }…{ A }_{ n }$ где ${ A }_{ 1 }…{ A }_{ n }$ – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая: $n=5 , n=2k-1 (k>3)$ и $n=2k (k>2)$
Так как n-угольная пирамида имеет $(n+1)$ грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки ${ B }_{ 1 }…{ B }_{ n+1 }$ расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках 1 и 2 ( в соответствии с указанными случаями).

$n=5$ . Так как в правильном шестиугольнике ${ B }_{ 1 }…{ B }_{ 6 }$ прямые ${ B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }, { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }$ и ${ B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }$ параллельны, а плоскости ${ A }_{ 2 }S{ A }_{ 3 }$ и $ASA$ проходят через ${ B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }$ и ${ B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }$ то их линия пересечения ${ ST ( T= { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 } }\bigcap { A } _{ 2 }{ A }_{ 3 } )$ параллельна этим прямым т.е. $ST\parallel { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }$ Проведем через прямые $ST$ и ${ B }_{ 1 }{ B }_{ 4 }$ плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой ${ B }_{ 1 }{ A }_{ 4 }$ которая должна проходить через точку пересечения прямой $ST$ с плоскостью основания т.е. через точку $T$ . Итак, прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 5 }, { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }$ и ${ A }_{ 2 }{ A }_{ 3 }$ пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }$ и ${ A }_{ 4 }{ A }_{ 5 }$ и пересекаются в одной точке. Из этого следует что ${ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }$ и ${ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }$ – оси симметрии правильного пятиугольника ${ A }_{ 1 }…{ A }_{ 5 }$ , значит. Точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если $Q$ – центр правильного шестиугольника ${ B }_{ 1 }…{ B }_{ 6 }$ , то плоскости $S{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }, S{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }$ и $S{ B }_{ 2 }{ B }_{ 5 }$ пересекаются по прямой $SQ$ . Следовательно прямые ${ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 },{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 }$ и ${ A }_{ 2 }{ A }_{ 5 }$ должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой $SQ$ с плоскостью основания пирамиды.Значит диагональ правильного пятиугольника ${ A }_{ 1 }…{ A }_{ 5 }$ должна проходить через его центр $O$ , что невозможно.

$n=2k-1 (k>3)$ Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном $2k$ -угольнике ${ B }_{ 1 }…{ B }_{ 2k }$ прямые ${ B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }$ и ${ B }_{ k }{ B }_{ k+3 }$ параллельны, то прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }$ и ${ A }_{ k }{ A }_{ k+3 }$ должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как в правильном $(2k-1)$ -угольнике ${ A }_{ 1 }…{ A }_{ 2k-1 }$ имеем ${ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }\parallel { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }$ , а прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }$ не параллельны.
$n=2k (k>2)$ Аналогично предыдущему случаю прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }$ и ${ A }_{ k }{ A }_{ k+3 }$ параллельны, следовательно, прямые ${ B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }$ и ${ B }_{ k }{ B }_{ k+3 }$ должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как ${ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }\parallel { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }$ , а прямые ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }$ не параллельны.

Замечания

При $n=3,4$ утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр имеющий сечением квадрат и правильная четырехугольная пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечением правильный пятиугольник
Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку, являются прямые, проходящие через одну точку ( или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость из вершины пирамиды.

Д. Терешин.

Определение

Пример

Геометрический смысл частной производной

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

Теорема

Использованная литература

Дополнительная литература

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Теорема 1(для функции двух переменных)

Теорема 2 (обобщение)

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Теорема о смешанных производных

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

Условие

Решение

Замечания