Processing math: 100%

Тест

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Интегрирование частями в интеграле Римана. Примеры.

Формула интегрирования по частям
Пусть функция latexu(x) и latexv(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

latexbau(x)dv(x)=u(x)v(x)|babav(x)du(x).

Примеры

  1. latex(2x+3)e2xdx=(1/2)(2x+3)d(e2x)=(1/2)((2x+3)e2x)2e2xdx=12((2x+3)e2x+e2x)+c
  2. latexxcosxdx=xd(sinx)=xsinxsinxdx=xsinx+cosx+c
  3. latexxsinxdx=xd(cosx)=(xcosxcosxdx)=(xcosxsinx)+c
  4. Пусть функция latexf(x) непрерывна на latexR и имеет период latexT так, что latexf(x+T)=f(x) для latexxR. Тогда на любом отрезке с длиной периода latexT интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
    latexa+Taf(x)dx=T0f(x)dx

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену latexx=t+T. Имеем:

latexa+Taf(x)dx=0af(x)dx+T0f(x)dx+a+Taf(x)dx=a0f(x)dx+T0f(x)dx+a0f(x)dx=T0f(x)dx

Источники:

  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
  • Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция latexf(x) определена на latex[a;b]» и latexa=x0<x1<x2<<xn=b, то интегралом функции latexf(x) на сегменте latex[a,b] называется число latexbaf(x)dx=limmax|xi|0i=0n1f(εi)Δxi,

где latexxiεixi+1 и latexΔxi=xi+1xi.

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть latexfC(a0,b0),φC(α0,β0), при чем если latext(α0;β0)φ(t)(a0;b0), тогда если latexα и latexβ latex(α0;β0), и latexa=φ(x),b=φ(x)baf(x)dx=βαf(φ(t))φ(t)dt

Доказательство. Так как функция latexfC(a0;b0)fC[a;b]baf(x)dx=F(b)F(a), где latexF(x)=f(x), для любого latexx[a;b]

С другой стороны так как latextF[φ(t)]=F(φ(t))φ(t)=f[φ(t)]φ(t)
latexF[φ(t)]-первообразная для latexf[φ(t)]φ(t) и тогда по Н-Л latexβαf[φ(t)]φ(t)dt=F[φ(t)]|βα=F[φ(β)]F[φ(α)]=F(b)F(a)
Пример. Если функция latexf(x) парная и непрерывная на latex[a;a], то latexaaf(x)dx=2a0f(x)dx а если функция latexf(x) непарная та непрерывная на latex[a;a], то

latexaaf(x)dx=0.

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

latexaaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx

и во втором интеграле положить latexx=t .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b], если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка [a;b], вида Δxi=xi+1xi,i=¯0,(n1), где a=x0<x1<x2<<xn=b, и любого выбора точек  ξi , таких, что  xiξixi+1 существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
baf(x)dx=limnn1i=0f(ξi)Δxi=A

Формулировка

Пусть:

  1. φ(t),f(x)C[a,b]; (является непрерывной на [a,b])
  2. φ(t)C(γ;β);
  3.  t[γ;β] aφ(t)b;
  4. γ=φ(a),β=φ(b).
    Тогда имеет место формула:

baf(x)dx=βγf(ϕ(t))ϕ(t)dt.

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: (F(φ(t)))=F(φ(t))φ(t)=f(φ(t))φ(t), то есть F(φ(t)) является первообразной для f(φ(t))φ(t). Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

βγf(φ(t))φ(t)dt=F(φ(t))|βγ= F(φ(β))F(φ(γ))=F(b)F(a)=baf(x)dx

Примеры:

  1. ctg(x)dx=cos(x)sin(x)dx=[t=sin(x)dt=cos(x)dx]=dtt=ln|t|+C=ln|sin(x)|+c  
  2. 10x(2x2)5dx=[t=2x2dt=d(2x2)=(2x2)dx=2xdx]==(x=1t=212=1x=0t=202=2)=1212t5dt=1212t5dt==112(t612)=112(126)=214  
  3. Если функция f(x) чётная и непрерывная на [a;a], то aaf(x)dx=2a0f(x)dx А если функция f(x) нечётная и непрерывная на [a;a], то aaf(x)dx=0 Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx, и в первом слагаемом произвести замену x=t .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.

Формула Ньютона-Лейбница — это фундаментальная для всего анализа соотношение, так как эта формула выражает связь между определенными и неопределенными интегралами

Теорема Ньютона-Лейбница

 Если latexfC[a;b] и latexF — какая-нибудь первообразная для latexf, то справедлива формула latexbaf(x)dx=F(b)F(a)=F(x)|ba

Доказательство

 Интегрирование по Риману существует в силу непрерывности latexf. В силу следствия latexF(x)=xaf(t)dt+c, для любого latexx[a;b]. Подставим latexx=a :

latexF(a)=aaf(t)dt+cc=F(a)F(x)=xaf(t)dt+F(a)

Подставим в это равенство latexx=bF(b)=baf(t)dt+F(a)

Примеры:

1) latex52(1/x)dx=lnx|52=ln5ln2.

2) Для любой в latex[0;a](a>0) функция latexf(x)

 latexa0f(x)=a0f(ax)dx.

Действительно latext=ax, имеем

latexa0f(x)dx=0af(at)dt=a0f(at)dt

Источники:

1) 2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.188-189

2) Конспект по математическому анализу