Автор: Покровский Вадим

Тест

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Интегрирование частями в интеграле Римана. Примеры.

Формула интегрирования по частям
Пусть функция $latex u(x) $ и $latex v(x) $ непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

$latex \int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x). $

Примеры

  1. $latex \int (2x+3)e^{2x}dx=(1/2)\int (2x+3)d(e^{2x})=(1/2)((2x+3)e^{2x})-\int 2e^{2x}dx=\frac{1}{2}((2x+3)e^{2x}+e^{2x})+c $
  2. $latex \int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c $
  3. $latex \int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-(x\cos x-\sin x)+c $
  4. Пусть функция $latex f(x) $ непрерывна на $latex \mathbb{R} $ и имеет период $latex T $ так, что $latex f(x+T)=f(x) $ для $latex x\subseteq R $. Тогда на любом отрезке с длиной периода $latex T $ интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
    $latex \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx $

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену $latex x=t+T’ $. Имеем:

$latex \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=-\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx $

Источники:

  • Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
  • Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция $latex f(x) $ определена на $latex [a;b]» $ и $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b $, то интегралом функции $latex f(x) $ на сегменте $latex [a,b] $ называется число $latex \huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i}$,

где $latex x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1} $ и $latex \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i} $.

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть $latex f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0}) $, при чем если $latex t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0}) $, тогда если $latex \alpha $ и $latex \beta $ $latex \in (\alpha _{0};\beta _{0}) $, и $latex a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi ‘(t)dt $

Доказательство. Так как функция $latex f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $, где $latex F'(x)=f(x) $, для любого $latex x\in [a;b] $

С другой стороны так как $latex \frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi ‘(t)=f[\varphi (t)]\varphi ‘(t) $
$latex F[\varphi (t)] $-первообразная для $latex f[\varphi (t)]\varphi ‘(t) $ и тогда по Н-Л $latex \Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi ‘(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a) $
Пример. Если функция $latex f(x) $ парная и непрерывная на $latex [-a;a] $, то $latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx $ а если функция $latex f(x) $ непарная та непрерывная на $latex [-a;a] $, то

$latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=0. $

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

$latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx $

и во втором интеграле положить $latex x=-t $ .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция $latex f(x) $ называется интегрируемой по Риману на отрезке $latex [a;b] $, если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка $latex [a;b] $, вида $latex \Delta x_{i}=x_{i+1} — x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}$, где $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$, и любого выбора точек $latex \ \xi _{i}\ $, таких, что $latex \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\:$ существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

  1. $latex \varphi(t), f (x) \in C [a,b];$ (является непрерывной на $latex [a,b]$)
  2. $latex \varphi’ (t) \in C (\gamma ;\beta);$
  3. $latex \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;$
  4. $latex \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).$
    Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: $latex (F(\varphi(t)))’=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t),$ то есть $latex F(\varphi (t))$ является первообразной для $latex f(\varphi (t))\varphi ‘(t) .$ Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

  1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
  2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
  3. Если функция $latex f(x) $ чётная и непрерывная на $latex [-a;a] ,$ то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция $latex f(x) $ нечётная и непрерывная на $latex [-a;a] ,$ то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: $latex \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx ,$ и в первом слагаемом произвести замену $latex x=-t $ .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.

Формула Ньютона-Лейбница — это фундаментальная для всего анализа соотношение, так как эта формула выражает связь между определенными и неопределенными интегралами

Теорема Ньютона-Лейбница

 Если $latex f\in C[a;b] $ и $latex F $ — какая-нибудь первообразная для $latex f $, то справедлива формула $latex \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b} $

Доказательство

 Интегрирование по Риману существует в силу непрерывности $latex f $. В силу следствия $latex F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c $, для любого $latex x\in [a;b] $. Подставим $latex x=a $ :

$latex F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt+c\Rightarrow c=F(a)\Rightarrow F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+F(a) $

Подставим в это равенство $latex x=b\Rightarrow F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt+F(a) $

Примеры:

1) $latex \int_{2}^{5}(1/x)dx=lnx|_{2}^{5}=ln5-ln2 $.

2) Для любой в $latex [0;a](a>0) $ функция $latex f(x) $

 $latex \int_{0}^{a}f(x)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx. $

Действительно $latex t=a-x $, имеем

$latex \int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(a-t)dt=\int_{0}^{a}f(a-t)dt $

Источники:

1) 2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.188-189

2) Конспект по математическому анализу