Покровский Вадим

Тест

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Интегрирование частями в интеграле Римана. Примеры.

Формула интегрирования по частям
Пусть функция $u(x)$ и $v(x)$ непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

$\int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x).$

Примеры

$\int (2x+3)e^{2x}dx=(1/2)\int (2x+3)d(e^{2x})=(1/2)((2x+3)e^{2x})-\int 2e^{2x}dx=\frac{1}{2}((2x+3)e^{2x}+e^{2x})+c$
$\int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c$
$\int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-(x\cos x-\sin x)+c$
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}$ и имеет период $T$ так, что $f(x+T)=f(x)$ для $x\subseteq R$ . Тогда на любом отрезке с длиной периода $T$ интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
$\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx$

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену $x=t+T'$ . Имеем:

$\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=-\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx$

Источники:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция $f(x)$ определена на $[a;b]"$ и $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ , то интегралом функции $f(x)$ на сегменте $[a,b]$ называется число $\huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i}$ ,

где $x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1}$ и $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ .

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть $f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0})$ , при чем если $t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0})$ , тогда если $\alpha$ и $\beta$ $\in (\alpha _{0};\beta _{0})$ , и $a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)dt$

Доказательство. Так как функция $f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ , где $F'(x)=f(x)$ , для любого $x\in [a;b]$

С другой стороны так как $\frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi '(t)=f[\varphi (t)]\varphi '(t)$
$F[\varphi (t)]$ -первообразная для $f[\varphi (t)]\varphi '(t)$ и тогда по Н-Л $\Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a)$
Пример. Если функция $f(x)$ парная и непрерывная на $[-a;a]$ , то $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ а если функция $f(x)$ непарная та непрерывная на $[-a;a]$ , то

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0.$

Для доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx$

и во втором интеграле положить $x=-t$ .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Замена переменной в интеграле Римана

Интеграл в смысле Римана: Функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a;b]$ , если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка $[a;b]$ , вида $\Delta x_{i}=x_{i+1} - x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}$ , где $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ , и любого выбора точек $\ \xi _{i}\$ , таких, что $\ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\:$ существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

$\varphi(t), f (x) \in C [a,b];$ (является непрерывной на $[a,b]$ )
$\varphi' (t) \in C (\gamma ;\beta);$
$\forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;$
$\gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).$
Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: $(F(\varphi(t)))'=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t),$ то есть $F(\varphi (t))$ является первообразной для $f(\varphi (t))\varphi '(t) .$ Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

$$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
$$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
Если функция $f(x)$ чётная и непрерывная на $[-a;a] ,$ то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция $f(x)$ нечётная и непрерывная на $[-a;a] ,$ то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: $\underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx ,$ и в первом слагаемом произвести замену $x=-t$ .(Самостоятельно)

Литература:

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.

Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Ньютона-Лейбніца. Приклади застосування.

Формула Ньютона-Лейбница — это фундаментальная для всего анализа соотношение, так как эта формула выражает связь между определенными и неопределенными интегралами

Теорема Ньютона-Лейбница

Если $f\in C[a;b]$ и $F$ — какая-нибудь первообразная для $f$ , то справедлива формула $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}$

Доказательство

Интегрирование по Риману существует в силу непрерывности $f$ . В силу следствия $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+c$ , для любого $x\in [a;b]$ . Подставим $x=a$ :

$F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt+c\Rightarrow c=F(a)\Rightarrow F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt+F(a)$

Подставим в это равенство $x=b\Rightarrow F(b)=\int_{a}^{b}f(t)dt+F(a)$

Примеры:

1) $\int_{2}^{5}(1/x)dx=lnx|_{2}^{5}=ln5-ln2$ .

2) Для любой в $[0;a](a>0)$ функция $f(x)$

$\int_{0}^{a}f(x)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.$

Действительно $t=a-x$ , имеем

$\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(a-t)dt=\int_{0}^{a}f(a-t)dt$

Источники:

1) 2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.188-189

2) Конспект по математическому анализу

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

7.

Поделиться ссылкой:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

7.

Поделиться ссылкой:

Поделиться ссылкой:

Формулировка

Доказательство

Примеры:

Литература:

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Замена переменной в интеграле Римана.

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

Поделиться ссылкой:

Поделиться ссылкой: