Автор: Покровский Вадим

Формула интегрирования по частям
Пусть функция $latex u(x) $ и $latex v(x) $ непрерывны вместе со своими производными на отрезке:

$latex \int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x). $

Примеры

1. $latex \int (2x+3)e^{2x}dx=(1/2)\int (2x+3)d(e^{2x})=(1/2)((2x+3)e^{2x})-\int 2e^{2x}dx=\frac{1}{2}((2x+3)e^{2x}+e^{2x})+c $
2. $latex \int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c $
3. $latex \int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-(x\cos x-\sin x)+c $
4. Пусть функция $latex f(x) $ непрерывна на $latex \mathbb{R} $ и имеет период $latex T $ так, что $latex f(x+T)=f(x) $ для $latex x\subseteq R $. Тогда на любом отрезке с длиной периода $latex T $ интеграл от этой функции имеет тоже самое значение:
   $latex \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx $

Доказательство
Разобьём интеграл на три и в последнем из них сделаем замену $latex x=t+T’ $. Имеем:

$latex \int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{a}^{a+T}f(x)dx=-\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{0}^{T}f(x)dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{T}f(x)dx $

Источники:

• Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —Москва: Наука, 1972. (стр.203-204)
• Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Тест предназначен для проверки знаний тестируемого по темам:
1) Теорема Ньютона-Лейбница;
2) Замена переменной в интеграле Римана;
3) Интегрирование по частям в интеграле Римана.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо за уделенное время.

максимум из 42 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Количество баллов: 6

   Какая из перечисленных ниже теорем является формулой Ньютона-Лейбница?

   • Если $ f(x) $ непрерывна на $ [a;b] $ , а $ F(x) $ - некоторая первообразная функции $ f(x) $, тогда имеет место формула

     $ \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $

   • Пусть функция $ f(x) $ непрерывна на отрезке $ [a;b], $ а $ \phi (t) $ определена и непрерывна вместе со своей производной $ {\phi }'(t) $ на $ [\alpha ,\beta ]; $  $ b) $ для всех  $ t\in [\alpha ;\beta ] $ выполняется условие $ \alpha \leq \phi (t)\leq b; $ $ c) $ $ a=\phi (\alpha ), $ $ b=\phi (\beta ). $ Тогда имеет место формула $ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }'(t)dt. $
   • Пусть функции $ u(x) $ та $ v(x) $ непрерывны вместе со своими производными на отрезке $ \int\limits_{a}^{b}u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)du(x). $
2. Задание 2 из 7

   2.

   Количество баллов: 6

   Если функция $latex f(x) $ интегрируема на промежутке $latex [a;b], $ то для любого $latex x\in [a;b] $ будет существовать интеграл от этой функции на промежутке $latex [a;x] $. Обозначим

   $latex \Phi (x)=\int\limits_{a}^{x}f(x)dx $

   Вопрос: Если $latex f(x) $ интегрируема на промежутке $latex [a;b], $ то функция $latex \Phi (x) $

   • то эта функция имеет производную в любой точке
   • такой функции не существует
   • будет непрерывной на $ [a;b], $
   • то эта функция имеет производную в любой точке , которая не принадлежит $ [a;b], $
3. Задание 3 из 7

   3.

   Количество баллов: 6

   Чему равно $latex \int\limits_{1}^{2}x^3dx$?

   • 16,25
   • -16,25
   • 15,75
   • -15,75
   • Ответа не существует
4. Задание 4 из 7

   4.

   Количество баллов: 6

   Дана часть таблицы основных интегралов.Найти соответствие:

   Элементы сортировки

   • $ (x^{a+1})/(a+1)+c $
   • $ \ln|x|+c $
   • $ (a^x)/(\ln{a})+c $
   • $ e^x+c $
   • $ -\cos x+c $
   • $ \sin x+c $

   • $ \int x^adx $

   • $ \int dx/x $

   • $ \int a^xdx $

   • $ \int e^xdx $

   • $\int \sin{x}dx$

   • $ \int \cos xdx $
5. Задание 5 из 7

   5.

   Количество баллов: 6

   Если функция $latex f(x) $ интегрируема на промежутке $latex [a;b], $ то для любого $latex x\in [a;b] $ будет существовать интеграл от этой функции на промежутке $latex [a;x] $. Обозначим

   $latex \Phi (x)=\int\limits_{a}^{x}f(x)dx $

   Вопрос. Если $latex f(x) $ непрерывна в точке $latex x_{0}\in [a;b] $ , то функция $latex \Phi (x) $

   • то такой функции не существует
   • эта функция имеет в этой точке производную, равную $ f(x_{0}) $
   • эта функция имеет в этой точке производную, равную $ f(b)-f(a) $
   • эта функция имеет в этой точке производную, равную $ f(a)-f(b) $
6. Задание 6 из 7

   6.

   Количество баллов: 6

   Если $latex f(x) $ непрерывна на $latex [a;b] $, а $latex F(x) $ — некоторая первообразная функции $latex f(x) $ , тогда имеет место формула: 

   • $ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{a}^{b} $
   • $ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_{b}^{a} $
   • $ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b) $
   • $ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $
7. Задание 7 из 7

   7.

   Количество баллов: 6

   Фундаментальная для всего анализа соотношение так называемая Ньютона- Лейбница выражает связь между … … …

   • (определенным, определённым, определенными, определёнными) и (неопределенным, неопределённым, неопределенными, неопределёнными) (интегралами, интегралом)

Интеграл в смысле Римана

Функция $ f(x) $ называется интегрируемой по Риману на отрезке $ [a;b] $, если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка $ [a;b] $, вида $ \Delta x_{i}=x_{i+1} — x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}$, где $ a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$, и любого выбора точек $ \ \xi _{i}\ $, таких, что $ \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\:$ существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

1. $ \varphi(t), f (x) \in C [a,b];$ (является непрерывной на $ [a,b]$)
2. $ \varphi’ (t) \in C (\gamma ;\beta);$
3. $ \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;$
4. $ \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).$
   Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: $ (F(\varphi(t)))’=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t),$ то есть $ F(\varphi (t))$ является первообразной для $ f(\varphi (t))\varphi ‘(t) .$ Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
3. Если функция $ f(x) $ чётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция $ f(x) $ нечётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: $ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx ,$ и в первом слагаемом произвести замену $ x=-t $ .(Самостоятельно)

Литература:

1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Замена переменной в интеграле Римана.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 35 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 15

   При каких условиях имеет место формула $ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int}} f(\phi(t))\phi'(t)dt $?

   Элементы сортировки

   • $ f \in C [ a , b ] $
   • $ \varphi (t), \varphi ' (t) \in C (\alpha ;\beta )$
   • $ \forall t \in [\alpha ;\beta ], \ a\leq \varphi(t)\leq b $
   • $ \forall t \in [\alpha ;\beta ], \ a < \varphi(t) < b $
   • $ \alpha =\varphi(a), \beta =\varphi(b) $
   • $ a=\varphi( \alpha ), b=\varphi( \beta ) $
   • $ f \in C (\alpha;\beta)$
   • $ \varphi(t), \varphi' (t) \in C [a,b];$

   • 1

   • 2

   • 3

   • 4
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 5

   Условие выполнения формулы [latex] \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i}[/latex], для [latex] f(x) [/latex] на сегменте $latex [a,b] $ является:

   • Непрерывность
   • Равномерная непрерывность
   • Конечное число точек разрыва
   • Определённость
   • Жорданова или Лебегова мера ноль области значений функции
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 5

   
   Если $ F(x) $, является первообразной для $ f(x) $, то выполняется равенство:

   • $ F'(x)=f(x) $
   • $ f'(x)=F(x) $
   • $ F(x) \equiv f(x) $
   • $ \exists \ \alpha \in \mathbb{R} : F(x) = \alpha \cdot f(x) $
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   
   Если $ f(x) $ непрерывна на $ \left [ a , b \right ] $, то пишут, что $ f \in $…(Продолжить)

   • $ C[a,b] $
   • $ N[a,b] $
   • $ C(a,b) $
   • $ \mathbb{R} $
   • $ N(a,b) $
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   
   Если функция $ f(x) $ парная и непрерывная на $ [-a;a] $, то…(Продолжить)

   • $ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $
   • $ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=0 $
   • Всё плохо
   • Она дифференциируема
   • Во всём виноват Волан де Морт