Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть A и B — произвольные множества. Тогда декартовым произведением A×B называется множество пар (x,y), xA, yB.

Клеточной окрестностью точки x0=(x01,,x0n) называется множество K(x0)={x:xRn,|xix0i|εi,i=¯1,n}, εi>0, i=¯1,n.

Пусть K(x0)Rn и Q(y0)Rm- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение K(x0)×Q(y0) — это клеточная окрестность точки (x0,y0)=(x01,,x0n,y01,,y0m) в пространстве Rn+m.

Определение

Пусть K(x0)Rn и Q(y0)Rm — клеточные окрестности. Система уравнений Fi(x,y)=0, i=¯1,m, где x=(x1,,xn), y=(y1,,ym), определяет в K(x0)×Q(y0) переменные y1,,ym как неявные функции переменных x1,,xn, если xK(x0) !yQ(y0):Fi(x,y)=0, i=¯1,m.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции Fi(x,y)=0, i=¯1,m, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки (x0,y0);
Fi(x0,y0)=0, i=¯1,m;
|F1y1F1ymFmy1Fmym|(x0,y0)0
Тогда найдутся клеточные окрестности K(x0)Rn и Q(y0)Rm такие, что в K(x0)×Q(y0) система уравнений Fi(x,y)=0, i=¯1,m определяет переменные y1,,ym как неявные функции переменных x1,,xn. Неявные функции yj=φj(x) непрерывно дифференцируемы в K(x0) и y0j=φj(x0), j=¯1,m.

Доказательство

Спойлер

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция F(x,y) определена в R2 и:

  1. Функция F(x,y) имеет в окрестности точки (x0,y0) непрерывные частные производные Fx(x,y) и Fy(x,y);
  2. F(x0,y0)=0;
  3. Fy(x0,y0)0.

Тогда существует прямоугольник K={(x,y):x0axx0+a,y0byy0+b}, KR2, такой, что (x,y)K уравнение F(x,y)=0 определяет y как неявную функцию x.
При этом функция y=f(x) непрерывно дифференцируема на (x0a;x0+a) и f(x)=Fx(x,f(x))Fy(x,f(x)).

Доказательство

Спойлер
Спойлер

Примеры

Спойлер
Спойлер

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция F\left(x, y \right) определена в R^{2}. Рассмотрим F\left(x, y \right)=0.

Обозначим: G_{F} — график уравнения F\left(x, y \right)=0 (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F\left(x, y \right)=0); A_{F}=pr_{ox}G_{F} — проекция графика G_{F} на ось X.

Определение

Если G_{F} взаимно однозначно проектируется на A_{F}, то существует единственная функция f: A_{F}\rightarrow R, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому x\in A_{F} ставит в соответствие y, такой, что F\left(x, y \right)=0.

Тогда говорят, что F\left(x, y \right)=0 определяет y как неявную функцию x.

Примеры

Спойлер

Спойлер

Спойлер

Спойлер

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l\left(\varphi \right) — опорная к G прямая, составляющая угол \varphi с некоторым фиксированным направлением l_{0}. Мы считаем, что l\left(\varphi \right) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)} — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого \varphi , 0\leq \varphi <2\pi , прямая l\left(\varphi \right) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S\left(\varphi \right) «сегмента», отрезаемого прямой l\left(\varphi \right) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S\left(\varphi \right) — непрерывная функция от \varphi на отрезке 0\leq \varphi <2\pi , где S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l\left(\varphi \right), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности \varphi функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l\left(\varphi \right) прямую l\left(\varphi +\delta \right) и соответствующую хорду A_{1}B_{1}. При достаточно малом \delta прямая l\left(\varphi +\delta \right) получается из l\left(\varphi \right) поворотом вокруг некоторой точки P\in G\left(\varphi \right), лежащей на границе G, а разность площадей S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right) равна разности площадей треугольников APA_{1} и BPB_{1} (рис.2). Если PA<PB, то (при малом \delta ) PA_{1}<PB_{1} и площадь треугольника APA_{1} меньше площади треугольника BPB_{1} (треугольник, симметричный APA_{1} относительно P, лежит внутри BPB_{1}); таким образом, при всех достаточно малых \delta >0 выполнено неравенство S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right) при достаточно малом \varepsilon — прямая l\left(\varphi -\varepsilon \right) получается поворотом l\left(\varphi \right) вокруг точки P’\in G\left(\varphi \right), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP'<BP'. Итак, если G\left(\varphi \right) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности \varphi функция S убывает. Если G\left(\varphi \right) расположена по другую сторону от K, то в окрестности \varphi функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S = S\left(\varphi \right) (принимающая равные значения на концах отрезка \left[0, 2\pi \right]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G\left(\varphi \right), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев