Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Тогда декартовым произведением $A\times B$ называется множество пар $\left(x,y \right)$, $x\in A$, $y\in B$.
Клеточной окрестностью точки $x^{0}=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0} \right)$ называется множество $K\left(x^{0} \right)=\left\{x: x\in R^{n}, \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$, $\varepsilon _{i}>0$, $i=\overline{1, n}$.
Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ — это клеточная окрестность точки $\left(x^{0},y^{0} \right)=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)$ в пространстве $R^{n+m}$.

Определение

Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.

Доказательство

Спойлер

Докажем методом индукции по числу уравнений $m$.
Б.И. При $m=1$ доказательство проводится, как в теореме о неявной функции одной переменной.
П.И. Предположим, что теорема справедлива, когда содержит $m-1$ уравнений.
Ш.И. Докажем, что условие теоремы выполняется для $m$ уравнений.

По третьему условию теоремы определитель не равен нулю. Разложим его по элементам последней строки. Тогда хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например,
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m-1}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{m-1}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда по предположению индукции существуют такие клеточные окрестности

$K_{1}=\left\{\left(x, y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}’, i=\overline{1, n}, \left|y_{m}-y_{m}^{0} \right|<\delta _{m}’ \right\}$,

$Q_{1}=\left \{ \left ( y_{1},…,y_{m-1} \right ): \left | y_{j}-y_{j}^{0} \right |\leqslant \delta ‘_{j}, j=\overline{1,m-1} \right \}$,

в которых система первых $m-1$ уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет $y_{1},…, y_{m-1}$ как неявные функции переменных $x_{1},…,x_{n},y_{m}$, т.е. $y_{j}=\psi _{j}\left(x, y_{m} \right), j=\overline{1, m-1}$.

Функции $\psi _{j}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируемы и $\psi _{j}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=y_{j}^{0}$, $j=\overline{1,m-1}$; $\left(x, y_{m} \right)\in K_{1}$, $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$.

Если $K_{2}=\left\{\left(x_{1},…,x_{n} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon ‘_{i}, i=\overline{1,m} \right\}$,

$Q_{2}=\left\{\left(y_{1},…,y_{m} \right): \left|y_{j}-y_{j}^{0} \right|<\delta ‘_{j}, j=\overline{1,m} \right\}$,

то при $x\in K_{2}, y\in Q_{2}$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ эквивалентна следующей системе:

$y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$.

Уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ может быть разрешено относительно $y_{m}$, так как для него выполнены все условия теоремы о неявной функции одной переменной. $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций.

Следовательно,
$\tilde{F}_{m}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=F_{m}\left(x^{0}, \psi _{1}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right),…,\psi _{m-1}\left(x^{0},y_{m}^{0}\right),y_{m}^{0}\right)=F\left(x^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)=0$.

Теперь проверим условие $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}\neq 0$ для аргументов $x^{0}, y^{0}_{m}$.

Если оно не выполнено, то $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}=\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{p}}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}=0$.

Дифференцируя по $y_{m}$ тождества $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$ в точке $\left(x^{0},y^{0} \right)$, получаем

$\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{p}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{m}}}=0$, $j=\overline{1,m-1}$.

Следовательно, последний столбец определителя есть линейная комбинация остальных его столбцов, тогда определитель равен нулю, а это противоречит условию теоремы.

Выполняются все условия теоремы о неявной функции одной переменной, значит существует окрестность $K=\left\{\left(x,y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i^{0}} \right|<\varepsilon _{i}<\varepsilon _{i}’, i=\overline{1,n}; \left|y_{m}-y_{m^{0}} \right|<\delta _{m}<\delta _{m}’ \right\}$, в которой уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ определяет $y_{m}$ как неявную непрерывно дифференцируемую функцию $y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, причём $y_{m}^{0}=\varphi _{m}\left(x^{0} \right)$.

В окрестности $K$ система $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$ эквивалентна и системе $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, и системе: $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $y_{m}-\varphi _{m}\left(x \right)=0$.

Данная система, в свою очередь, эквивалентна следующей: $y_{1}=\varphi _{1}\left(x \right),…,y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, где $\varphi _{1}\left(x \right)=\psi _{1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right),…,\varphi _{m-1}\left(x \right)=\psi _{m-1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right)$, причём $\varphi _{1}\left(x^{0} \right)=y_{1}^{0},…,\varphi _{m}\left(x^{0} \right)=y_{m}^{0}$.

Уравнения $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ неявно определяют систему функций $\varphi _{1}\left(x \right),…,\varphi _{m}\left(x \right)$ в окрестности $K\times Q$ точки $\left(x^{0},y^{0} \right)$, где

$K=\left\{x: \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$,

$Q=\left\{y: \left|y_{i}-y_{i}^{0} \right|<\delta _{i}, j=\overline{1, m} \right\}$, $\delta _{j}=\delta ‘_{j}$ при $ j=\overline{1, m-1}$.

[свернуть]

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:

  1. Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
  2. $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
  3. $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Доказательство

Спойлер

Докажем существование неявной функции. Так как, по условию, $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$, то $F_{y}\left(x, y \right)>0$ либо $F_{y}\left(x, y \right)<0$. Без ограничения общности будем считать $F_{y}\left(x, y \right)>0$. Иначе можно было бы взять эквивалентную функцию $-F_{y}\left(x, y \right)=0$. Тогда $-F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)>0$. Функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна в точке $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ и принимает в этой точке положительное значение. Следовательно, существует такой прямоугольник (рис.) $K_{1}=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a_{1}, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$, $K_{1}\in R^{2}$, в котором $F_{y}\left(x, y \right)>0$.

рис

Рассмотрим функцию одной переменной $\psi \left(y \right)=F\left(x_{0}, y \right)$, где $y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b$. $\psi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$, так как $\psi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x_{0}, y \right)>0$.
В силу того, что $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$, $\psi \left(y_{0} \right)=F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$.

Следовательно, $\psi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}-b \right)<0$, $\psi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}+b \right)>0$.

Так как функция $F\left(x, y \right)$ непрерывна, эти неравенства выполняются в некоторых окрестностях точек $\left(x_{0}, y_{0}-b \right)$ и $\left(x_{0}, y_{0}+b \right)$. Поэтому $\exists a\in \left(0, a_{1} \right):$  $\forall x \in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ выполняется $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$.

Покажем, что в прямоугольнике $K=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Для произвольной точки $x*\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ рассмотрим непрерывную на $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ функцию одной переменной $\varphi \left(y \right)=F\left(x*, y \right)$.

Так как $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$, $\varphi \left(y \right)$ принимает на концах отрезка значения разных знаков: $\varphi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x*, y_{0}-b \right)<0$, $\varphi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x*, y_{0}+b \right)>0$.

По теореме Коши о нулях непрерывной функции $\exists y*\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]: \varphi \left(y* \right)=F\left(x*, y* \right)=0$.

Так как $\varphi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x*, y \right)>0$, то функция $\varphi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, $\forall x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ $\exists !y\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]:$$ F\left(x, y \right)=0$. Следовательно, в прямоугольнике $K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]
Спойлер

Докажем непрерывную дифференцируемость неявной функции. Так как функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна на замкнутом прямоугольнике $K$, то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом прямоугольнике своё наименьшее значение $\alpha $. $F_{y}\left(x, y \right)>0$ на $K$, следовательно $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, где $\left(x, y \right)\in K$.

Непрерывная на $K$ функция $F_{x}\left(x, y \right)$ ограничена на $K$. Это значит, что
$\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, где $\left(x, y \right)\in K$.

Пусть $y=f\left(x \right)$ — неявная функция, определяемая в прямоугольнике $K$ уравнением $F\left(x, y \right)=0$. Возьмём точки $\left(x, y \right)$, $\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)$ $\in G_{F}$ функции $f\left(x \right)$ (график функции $f\left(x \right)$).
Тогда $F\left(x, y \right)=0$, $F\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)=0$.

Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
$F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta x+F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta y=0$,

$\Delta y=-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}\Delta x$, где $0<\theta <1$.

Из $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, $\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, $\left(x, y \right)\in K$ получаем:
$\left|\Delta y \right|\leq \frac{\beta }{\alpha }\left|\Delta x \right|$.

Следовательно, $\Delta y\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ и неявная функция $f\left(x \right)$ непрерывна в любой точке $x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$.

Воспользуемся непрерывностью частных производных, поделим предыдущее равенство на $\Delta x$ и перейдём к пределу при $\Delta x\rightarrow 0$:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}$.

Выполняется условие теоремы:

$f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Следовательно, $f’\left(x \right)$ будет непрерывной на отрезке $\left[ x_{0}-a;x_{0}+a\right]$ как суперпозиция непрерывных функций.

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Найти производную от функции, заданной неявно.
$$ \frac{e^{y}}{3x}=2xy+7$$
$$\left ( \frac{e^{y}}{3x} \right )’=\left ( 2xy+7 \right )’$$
$$\frac{\left ( e^{y} \right )’\cdot 3x-e^{y}\cdot \left ( 3x \right )’}{9x^{2}}=\left ( 2xy \right )’+7’$$
$$\frac{e^{y}\cdot y’\cdot 3x-e^{y}\cdot 3}{9x^{2}}=2y+2x\cdot y’$$
$$e^{y}xy’-e^{y}=6yx^{2}+6x^{3}y’$$
Ответ:
$$y’=\frac{6yx^{2}+e^{y}}{e^{y}x-x^{3}}$$

[свернуть]
Спойлер

Найти производную от функции, заданной неявно.
$$8x^{2}y^{3}-6x=9y-2$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3}-6x \right )’=\left ( 9y-2 \right )’$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3} \right )’-6\left ( x \right )’-9\left ( y \right )’+2’=0’$$
$$16xy^{3}+24x^{2}y^{2}y’-6-9y’=0$$
Ответ:
$$y’=\frac{6-16xy^{3}}{24x^{2}y^{2}-9}$$

[свернуть]

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.

Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.

Определение

Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.

Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Примеры

Спойлер

$y-x^{2}=0$
график1
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $y-x^{2}=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$xy-1=0$
график2
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $xy-1=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$
график3
График функции не взаимно однозначно проектируется на отрезок $\left [ -0.5;0 \right ]$, следовательно функция $y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$x^{2}+y^{2}-1=0$
график4
А функция $x^{2}+y^{2}-1=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$, так как её график неоднозначно проектируется на отрезок $\left [ -1;1 \right ]$.

[свернуть]

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l\left(\varphi \right) — опорная к G прямая, составляющая угол \varphi с некоторым фиксированным направлением l_{0}. Мы считаем, что l\left(\varphi \right) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)} — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого \varphi , 0\leq \varphi <2\pi , прямая l\left(\varphi \right) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S\left(\varphi \right) «сегмента», отрезаемого прямой l\left(\varphi \right) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S\left(\varphi \right) — непрерывная функция от \varphi на отрезке 0\leq \varphi <2\pi , где S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l\left(\varphi \right), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности \varphi функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l\left(\varphi \right) прямую l\left(\varphi +\delta \right) и соответствующую хорду A_{1}B_{1}. При достаточно малом \delta прямая l\left(\varphi +\delta \right) получается из l\left(\varphi \right) поворотом вокруг некоторой точки P\in G\left(\varphi \right), лежащей на границе G, а разность площадей S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right) равна разности площадей треугольников APA_{1} и BPB_{1} (рис.2). Если PA<PB, то (при малом \delta ) PA_{1}<PB_{1} и площадь треугольника APA_{1} меньше площади треугольника BPB_{1} (треугольник, симметричный APA_{1} относительно P, лежит внутри BPB_{1}); таким образом, при всех достаточно малых \delta >0 выполнено неравенство S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right) при достаточно малом \varepsilon — прямая l\left(\varphi -\varepsilon \right) получается поворотом l\left(\varphi \right) вокруг точки P'\in G\left(\varphi \right), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP'<BP'. Итак, если G\left(\varphi \right) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности \varphi функция S убывает. Если G\left(\varphi \right) расположена по другую сторону от K, то в окрестности \varphi функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S = S\left(\varphi \right) (принимающая равные значения на концах отрезка \left[0, 2\pi \right]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G\left(\varphi \right), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев