Processing math: 100%

Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть A и B — произвольные множества. Тогда декартовым произведением A×B называется множество пар (x,y), xA, yB.

Клеточной окрестностью точки x0=(x01,,x0n) называется множество K(x0)={x:xRn,|xix0i|εi,i=¯1,n}, εi>0, i=¯1,n.

Пусть K(x0)Rn и Q(y0)Rm- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение K(x0)×Q(y0) — это клеточная окрестность точки (x0,y0)=(x01,,x0n,y01,,y0m) в пространстве Rn+m.

Определение

Пусть K(x0)Rn и Q(y0)Rm — клеточные окрестности. Система уравнений Fi(x,y)=0, i=¯1,m, где x=(x1,,xn), y=(y1,,ym), определяет в K(x0)×Q(y0) переменные y1,,ym как неявные функции переменных x1,,xn, если xK(x0) !yQ(y0):Fi(x,y)=0, i=¯1,m.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции Fi(x,y)=0, i=¯1,m, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки (x0,y0);
Fi(x0,y0)=0, i=¯1,m;
|F1y1F1ymFmy1Fmym|(x0,y0)0
Тогда найдутся клеточные окрестности K(x0)Rn и Q(y0)Rm такие, что в K(x0)×Q(y0) система уравнений Fi(x,y)=0, i=¯1,m определяет переменные y1,,ym как неявные функции переменных x1,,xn. Неявные функции yj=φj(x) непрерывно дифференцируемы в K(x0) и y0j=φj(x0), j=¯1,m.

Доказательство

Спойлер

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция F(x,y) определена в R2 и:

  1. Функция F(x,y) имеет в окрестности точки (x0,y0) непрерывные частные производные Fx(x,y) и Fy(x,y);
  2. F(x0,y0)=0;
  3. Fy(x0,y0)0.

Тогда существует прямоугольник K={(x,y):x0axx0+a,y0byy0+b}, KR2, такой, что (x,y)K уравнение F(x,y)=0 определяет y как неявную функцию x.
При этом функция y=f(x) непрерывно дифференцируема на (x0a;x0+a) и f(x)=Fx(x,f(x))Fy(x,f(x)).

Доказательство

Спойлер
Спойлер

Примеры

Спойлер
Спойлер

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция F(x,y) определена в R2. Рассмотрим F(x,y)=0.

Обозначим: GF — график уравнения F(x,y)=0 (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0); AF=proxGF — проекция графика GF на ось X.

Определение

Если GF взаимно однозначно проектируется на AF, то существует единственная функция f:AFR, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому xAF ставит в соответствие y, такой, что F(x,y)=0.

Тогда говорят, что F(x,y)=0 определяет y как неявную функцию x.

Примеры

Спойлер

Спойлер

Спойлер

Спойлер

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l(φ) — опорная к G прямая, составляющая угол φ с некоторым фиксированным направлением l0. Мы считаем, что l(φ) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G(φ)=Gl(φ) — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого φ, 0φ<2π, прямая l(φ) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S(φ) «сегмента», отрезаемого прямой l(φ) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S(φ) — непрерывная функция от φ на отрезке 0φ<2π, где S(2π)=S(0).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l(φ), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности φ функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l(φ) прямую l(φ+δ) и соответствующую хорду A1B1. При достаточно малом δ прямая l(φ+δ) получается из l(φ) поворотом вокруг некоторой точки PG(φ), лежащей на границе G, а разность площадей S(φ+δ)S(φ) равна разности площадей треугольников APA1 и BPB1 (рис.2). Если PA<PB, то (при малом δ) PA1<PB1 и площадь треугольника APA1 меньше площади треугольника BPB1 (треугольник, симметричный APA1 относительно P, лежит внутри BPB1); таким образом, при всех достаточно малых δ>0 выполнено неравенство S(φ+δ)<S(φ).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S(φ)<S(φε) при достаточно малом ε — прямая l(φε) получается поворотом l(φ) вокруг точки PG(φ), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP<BP. Итак, если G(φ) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности φ функция S убывает. Если G(φ) расположена по другую сторону от K, то в окрестности φ функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S=S(φ) (принимающая равные значения на концах отрезка [0,2π]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G(φ), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев