Определим дополнительные термины:
Определение
Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.
Теорема о неявной функции многих переменных
Пусть выполнены следующие условия:
Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.
Доказательство
Докажем методом индукции по числу уравнений $m$.
Б.И. При $m=1$ доказательство проводится, как в теореме о неявной функции одной переменной.
П.И. Предположим, что теорема справедлива, когда содержит $m-1$ уравнений.
Ш.И. Докажем, что условие теоремы выполняется для $m$ уравнений.
По третьему условию теоремы определитель не равен нулю. Разложим его по элементам последней строки. Тогда хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например,
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m-1}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{m-1}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда по предположению индукции существуют такие клеточные окрестности
$K_{1}=\left\{\left(x, y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}’, i=\overline{1, n}, \left|y_{m}-y_{m}^{0} \right|<\delta _{m}’ \right\}$,
$Q_{1}=\left \{ \left ( y_{1},…,y_{m-1} \right ): \left | y_{j}-y_{j}^{0} \right |\leqslant \delta ‘_{j}, j=\overline{1,m-1} \right \}$,
в которых система первых $m-1$ уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет $y_{1},…, y_{m-1}$ как неявные функции переменных $x_{1},…,x_{n},y_{m}$, т.е. $y_{j}=\psi _{j}\left(x, y_{m} \right), j=\overline{1, m-1}$.
Функции $\psi _{j}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируемы и $\psi _{j}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=y_{j}^{0}$, $j=\overline{1,m-1}$; $\left(x, y_{m} \right)\in K_{1}$, $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$.
Если $K_{2}=\left\{\left(x_{1},…,x_{n} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon ‘_{i}, i=\overline{1,m} \right\}$,
$Q_{2}=\left\{\left(y_{1},…,y_{m} \right): \left|y_{j}-y_{j}^{0} \right|<\delta ‘_{j}, j=\overline{1,m} \right\}$,
то при $x\in K_{2}, y\in Q_{2}$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ эквивалентна следующей системе:
$y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$.
Уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ может быть разрешено относительно $y_{m}$, так как для него выполнены все условия теоремы о неявной функции одной переменной. $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций.
Следовательно,
$\tilde{F}_{m}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=F_{m}\left(x^{0}, \psi _{1}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right),…,\psi _{m-1}\left(x^{0},y_{m}^{0}\right),y_{m}^{0}\right)=F\left(x^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)=0$.
Теперь проверим условие $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}\neq 0$ для аргументов $x^{0}, y^{0}_{m}$.
Если оно не выполнено, то $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}=\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{p}}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}=0$.
Дифференцируя по $y_{m}$ тождества $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$ в точке $\left(x^{0},y^{0} \right)$, получаем
$\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{p}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{m}}}=0$, $j=\overline{1,m-1}$.
Следовательно, последний столбец определителя есть линейная комбинация остальных его столбцов, тогда определитель равен нулю, а это противоречит условию теоремы.
Выполняются все условия теоремы о неявной функции одной переменной, значит существует окрестность $K=\left\{\left(x,y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i^{0}} \right|<\varepsilon _{i}<\varepsilon _{i}’, i=\overline{1,n}; \left|y_{m}-y_{m^{0}} \right|<\delta _{m}<\delta _{m}’ \right\}$, в которой уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ определяет $y_{m}$ как неявную непрерывно дифференцируемую функцию $y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, причём $y_{m}^{0}=\varphi _{m}\left(x^{0} \right)$.
В окрестности $K$ система $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$ эквивалентна и системе $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, и системе: $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $y_{m}-\varphi _{m}\left(x \right)=0$.
Данная система, в свою очередь, эквивалентна следующей: $y_{1}=\varphi _{1}\left(x \right),…,y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, где $\varphi _{1}\left(x \right)=\psi _{1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right),…,\varphi _{m-1}\left(x \right)=\psi _{m-1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right)$, причём $\varphi _{1}\left(x^{0} \right)=y_{1}^{0},…,\varphi _{m}\left(x^{0} \right)=y_{m}^{0}$.
Уравнения $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ неявно определяют систему функций $\varphi _{1}\left(x \right),…,\varphi _{m}\left(x \right)$ в окрестности $K\times Q$ точки $\left(x^{0},y^{0} \right)$, где
$K=\left\{x: \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$,
$Q=\left\{y: \left|y_{i}-y_{i}^{0} \right|<\delta _{i}, j=\overline{1, m} \right\}$, $\delta _{j}=\delta ‘_{j}$ при $ j=\overline{1, m-1}$.
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Теорема о неявной функции многих переменных
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Теорема о неявной функции одной переменной
Формулировка
Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:
- Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
- $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
- $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.
Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.
Доказательство
Докажем существование неявной функции. Так как, по условию, $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$, то $F_{y}\left(x, y \right)>0$ либо $F_{y}\left(x, y \right)<0$. Без ограничения общности будем считать $F_{y}\left(x, y \right)>0$. Иначе можно было бы взять эквивалентную функцию $-F_{y}\left(x, y \right)=0$. Тогда $-F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)>0$. Функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна в точке $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ и принимает в этой точке положительное значение. Следовательно, существует такой прямоугольник (рис.) $K_{1}=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a_{1}, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$, $K_{1}\in R^{2}$, в котором $F_{y}\left(x, y \right)>0$.
Рассмотрим функцию одной переменной $\psi \left(y \right)=F\left(x_{0}, y \right)$, где $y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b$. $\psi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$, так как $\psi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x_{0}, y \right)>0$.
В силу того, что $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$, $\psi \left(y_{0} \right)=F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$.
Следовательно, $\psi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}-b \right)<0$, $\psi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}+b \right)>0$.
Так как функция $F\left(x, y \right)$ непрерывна, эти неравенства выполняются в некоторых окрестностях точек $\left(x_{0}, y_{0}-b \right)$ и $\left(x_{0}, y_{0}+b \right)$. Поэтому $\exists a\in \left(0, a_{1} \right):$ $\forall x \in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ выполняется $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$.
Покажем, что в прямоугольнике $K=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
Для произвольной точки $x*\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ рассмотрим непрерывную на $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ функцию одной переменной $\varphi \left(y \right)=F\left(x*, y \right)$.
Так как $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$, $\varphi \left(y \right)$ принимает на концах отрезка значения разных знаков: $\varphi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x*, y_{0}-b \right)<0$, $\varphi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x*, y_{0}+b \right)>0$.
По теореме Коши о нулях непрерывной функции $\exists y*\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]: \varphi \left(y* \right)=F\left(x*, y* \right)=0$.
Так как $\varphi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x*, y \right)>0$, то функция $\varphi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.
Таким образом, $\forall x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ $\exists !y\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]:$$ F\left(x, y \right)=0$. Следовательно, в прямоугольнике $K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
Докажем непрерывную дифференцируемость неявной функции. Так как функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна на замкнутом прямоугольнике $K$, то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом прямоугольнике своё наименьшее значение $\alpha $. $F_{y}\left(x, y \right)>0$ на $K$, следовательно $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, где $\left(x, y \right)\in K$.
Непрерывная на $K$ функция $F_{x}\left(x, y \right)$ ограничена на $K$. Это значит, что
$\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, где $\left(x, y \right)\in K$.
Пусть $y=f\left(x \right)$ — неявная функция, определяемая в прямоугольнике $K$ уравнением $F\left(x, y \right)=0$. Возьмём точки $\left(x, y \right)$, $\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)$ $\in G_{F}$ функции $f\left(x \right)$ (график функции $f\left(x \right)$).
Тогда $F\left(x, y \right)=0$, $F\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)=0$.
Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
$F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta x+F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta y=0$,
$\Delta y=-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}\Delta x$, где $0<\theta <1$.
Из $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, $\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, $\left(x, y \right)\in K$ получаем:
$\left|\Delta y \right|\leq \frac{\beta }{\alpha }\left|\Delta x \right|$.
Следовательно, $\Delta y\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ и неявная функция $f\left(x \right)$ непрерывна в любой точке $x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$.
Воспользуемся непрерывностью частных производных, поделим предыдущее равенство на $\Delta x$ и перейдём к пределу при $\Delta x\rightarrow 0$:
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}$.
Выполняется условие теоремы:
$f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.
Следовательно, $f’\left(x \right)$ будет непрерывной на отрезке $\left[ x_{0}-a;x_{0}+a\right]$ как суперпозиция непрерывных функций.
Примеры
Найти производную от функции, заданной неявно.
$$ \frac{e^{y}}{3x}=2xy+7$$
$$\left ( \frac{e^{y}}{3x} \right )’=\left ( 2xy+7 \right )’$$
$$\frac{\left ( e^{y} \right )’\cdot 3x-e^{y}\cdot \left ( 3x \right )’}{9x^{2}}=\left ( 2xy \right )’+7’$$
$$\frac{e^{y}\cdot y’\cdot 3x-e^{y}\cdot 3}{9x^{2}}=2y+2x\cdot y’$$
$$e^{y}xy’-e^{y}=6yx^{2}+6x^{3}y’$$
Ответ:
$$y’=\frac{6yx^{2}+e^{y}}{e^{y}x-x^{3}}$$
Найти производную от функции, заданной неявно.
$$8x^{2}y^{3}-6x=9y-2$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3}-6x \right )’=\left ( 9y-2 \right )’$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3} \right )’-6\left ( x \right )’-9\left ( y \right )’+2’=0’$$
$$16xy^{3}+24x^{2}y^{2}y’-6-9y’=0$$
Ответ:
$$y’=\frac{6-16xy^{3}}{24x^{2}y^{2}-9}$$
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Теорема о неявной функции одной переменной
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Определение неявной функции одной переменной
Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.
Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.
Определение
Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.
Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
Примеры
$y-x^{2}=0$
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $y-x^{2}=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
$xy-1=0$
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $xy-1=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
$y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$
График функции не взаимно однозначно проектируется на отрезок $\left [ -0.5;0 \right ]$, следовательно функция $y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$.
$x^{2}+y^{2}-1=0$
А функция $x^{2}+y^{2}-1=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$, так как её график неоднозначно проектируется на отрезок $\left [ -1;1 \right ]$.
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: 3-е издание, исправл.- Физмат-лит, 2001. стр.260-263.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2 стр.309-315.
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.321-323.
- Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
Неявные функции
Тест для закрепления материала.
Таблица лучших: Неявные функции
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
М1604. Задача об опорных хордах многоугольника
Задача из журнала «Квант» (1997, №4)
Условие
Внутри выпуклого многоугольника [latex]F[/latex] расположен второй выпуклый многоугольник [latex]G[/latex]. Хорда многоугольника [latex]F[/latex] — отрезок, концы которого лежат на границе [latex]F[/latex], — называется опорной к многоугольнику [latex]G[/latex], если она пересекается с [latex]G[/latex] только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону [latex]G[/latex]. Докажите, что:
- найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе [latex]G[/latex];
- найдутся по крайней мере две такие хорды.
Решение
Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от [latex]F[/latex] хордами, опорными к [latex]G[/latex] (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются [latex]G[/latex] своими серединами.
Рис.1
Изложим теперь решение более подробно. Пусть [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] — опорная к [latex]G[/latex] прямая, составляющая угол [latex]\varphi [/latex] с некоторым фиксированным направлением [latex]l_{0}[/latex]. Мы считаем, что [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] — направленная прямая, [latex]G[/latex] содержится в её правой полуплоскости; [latex]G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)}[/latex] — одна точка (вершина [latex]G[/latex]) или отрезок (сторона [latex]G[/latex]). Ясно, что для каждого [latex]\varphi [/latex], [latex]0\leq \varphi <2\pi [/latex], прямая [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] определена однозначно. Рассмотрим площадь [latex]S=S\left(\varphi \right)[/latex] «сегмента», отрезаемого прямой [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] от [latex]F[/latex], — пересечения [latex]F[/latex] с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что [latex]S=S\left(\varphi \right)[/latex] — непрерывная функция от [latex]\varphi [/latex] на отрезке [latex]0\leq \varphi <2\pi [/latex], где [latex]S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right)[/latex].
Пусть [latex]AB[/latex] — хорда, высекаемая многоугольником [latex]F[/latex] на прямой [latex]l\left(\varphi \right)[/latex], и [latex]K[/latex] — её середина. Докажем, что если [latex]K[/latex] не лежит на границе с [latex]G[/latex], то в некоторой окрестности [latex]\varphi [/latex] функция [latex]S[/latex] монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] прямую [latex]l\left(\varphi +\delta \right)[/latex] и соответствующую хорду [latex]A_{1}B_{1}[/latex]. При достаточно малом [latex]\delta [/latex] прямая [latex]l\left(\varphi +\delta \right)[/latex] получается из [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] поворотом вокруг некоторой точки [latex]P\in G\left(\varphi \right)[/latex], лежащей на границе [latex]G[/latex], а разность площадей [latex]S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right)[/latex] равна разности площадей треугольников [latex]APA_{1}[/latex] и [latex]BPB_{1}[/latex] (рис.2). Если [latex]PA<PB[/latex], то (при малом [latex]\delta [/latex]) [latex]PA_{1}<PB_{1}[/latex] и площадь треугольника [latex]APA_{1}[/latex] меньше площади треугольника [latex]BPB_{1}[/latex] (треугольник, симметричный [latex]APA_{1}[/latex] относительно [latex]P[/latex], лежит внутри [latex]BPB_{1}[/latex]); таким образом, при всех достаточно малых [latex]\delta >0[/latex] выполнено неравенство [latex]S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right)[/latex].
Рис.2
Аналогично, [latex]S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right)[/latex] при достаточно малом [latex]\varepsilon [/latex] — прямая [latex]l\left(\varphi -\varepsilon \right)[/latex] получается поворотом [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] вокруг точки [latex]P’\in G\left(\varphi \right)[/latex], либо совпадающей с [latex]P[/latex], либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины [latex]K[/latex], так что [latex]AP'<BP'[/latex]. Итак, если [latex]G\left(\varphi \right)[/latex] лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от [latex]K[/latex], то в окрестности [latex]\varphi[/latex] функция [latex]S[/latex] убывает. Если [latex]G\left(\varphi \right)[/latex] расположена по другую сторону от [latex]K[/latex], то в окрестности [latex]\varphi [/latex] функция [latex]S[/latex] возрастает.
Однако непрерывная функция [latex]S = S\left(\varphi \right)[/latex] (принимающая равные значения на концах отрезка [latex]\left[0, 2\pi \right][/latex]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды [latex]K[/latex] должна лежать в [latex]G\left(\varphi \right)[/latex], т.е. принадлежать границе [latex]G[/latex].
Н.Васильев