1.4 Целые числа. Принцип Архимеда

Одна из аксиом сложения предполагает наличие у каждого числа x противоположного ему числа -x, т. е. такого, что x\;+\;(-x)\;=\;0.

Определение. Натуральные числа, противоположные им и число 0 будем называть целыми числами. Множество всех целых чисел обозначается через \mathbb{Z}.

Лемма 1. Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.

Пусть A – ограниченное сверху подмножество множества целых чисел. Тогда у него существует верхняя грань c\;=\;\sup\;A. Число c-1 не является верхней границей множества A и поэтому найдется такое z_0\in A, что c\;-\;1\;<\;z_0\;\leq\;c. Это число z_0 является наибольшим в A. В самом деле, если найдется z'\in A, такое, что z'>z_0, то z'\geq z_0+1 (во множестве \mathbb{Z} между z_0 и z_0+1 нет целых чисел). Но z_0+1>c, а значит, и z'>c, что противоречит тому, что c – верхняя граница множества A.

Следствие. Множество \mathbb{N} всех натуральных чисел неограничено сверху.

В самом деле, если бы \mathbb{N} было бы ограниченным сверху, то, согласно лемме 1, в нем нашелся бы наибольший элемент n_0. Но n_0 + 1 > n_0 и n_0+1\in\mathbb{N}, что приводит к противоречию.

С помощью кванторов это следствие можно записать так:

\forall a\;\in\;\mathbb{R}\;\;\exists n\;\in\;\mathbb{N}\;:\;\;n\;>\;a

Лемма 2. В каждом непустом ограниченном снизу подмножестве
целых чисел существует наименьший элемент (доказывается аналогично лемме 1).

Теорема (принцип Архимеда). Для любого действительного числа x и для любого положительного h существует единственное целое число k_0, такое, что ({\mathrm k}_0\;-\;1)\mathrm h\;\leq\;\mathrm x\;<\;{\mathrm k}_0\mathrm h.

Зададим x\in R и h>0. Множество целых чисел k, таких, что k>\frac xh, непусто в силу следствия из леммы 1, и это множество ограничено снизу. Поэтому, в силу леммы 2, в этом множестве есть наименьший элемент k_0, и он единственный. Так как k_0>\frac xh, а из неравенства k_0-1\leq\frac xh следует, что (k_0-1)\leq x.

С геометрической точки зрения принцип Архимеда означает, что каждая точка x\in\mathbb{R} попадает в один, и только в один из полуинтервалов \lbrack(k-1)h,kh\rbrack.

Определение. Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде \frac pq, где p – целое, q – натуральное. Множество всех рациональных чисел обозначается через \mathbb{Q}.

Следствие из принципа Архимеда. Пусть a, b – действительные числа, такие, что a < b. Тогда найдется такое рациональное число r, что a < r < b.

Выберем натуральное n>\frac1{b-a} (оно существует в силу следствия из леммы 1).Применяя принцип Архимеда с h=\frac1n найдем такое целое k, что \frac{k-1}n\leq a<\frac kn. Обозначим r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\in\mathbb{Q}. Остается показать, что r<b. Если r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\geq b, то из неравенства \frac{\displaystyle k-1}{\displaystyle n}\leq a получим, что \frac{\displaystyle1}{\displaystyle n}\geq b-a, т. е. n\leq\frac1{b-a}, что противоречит выбору числа n.

Это следствие называют свойством плотности рациональных чисел.

Примеры решения задач

Пример 1.
Пусть \{-x\} — множество чисел, противоположных числам x\in\{x\}.Доказать, что
a)\inf\{-x\}=-\sup\{x\}
b)\sup\{-x\}=-\inf\{x\}[2]

Решение

a) Обозначим s=sup\{x\}
тогда \forall e\in\{x\}:e\leq s\Rightarrow(из аксиом умножения и так как -1<0)\forall e\in\{x\}:-e\geq-s, что, в свою очередь и означает что \inf\{-x\}=-sup\{x\}.
b) Поскольку $-(-x)=x$ то множество чисел ${x}$ противоположно ${-x}$ то выполняется следующее: \inf\{x\}=-sup\{-x\} (из примера а). Домножив обе части на -1 получим нужное равенство.

Пример 2.Докажите что для любых 2х разных действительных чисел a,b найдется 2 различных, не пересекающихся полуинтервалов, таких что каждое из чисел a,b принадлежит ровно одному отрезку.

Решение

Не нарушая общности пусть a>b. Тогда по следствию из принципа Архимеда найдется a\;>\;r\;\;>\;b. Теперь найдем такое $c$ что $c<b$. На множестве действительных чисел это можно сделать. Теперь если рассматривать полуинтервалы (c;r\rbrack и (c;r\rbrack то можно заметить что c<b<r<a\;\Rightarrow\;b\in(c;r\rbrack,\;b\not\in(r;a\rbrack,\;a\not\in(c;r\rbrack,\;a\in(r;a\rbrack а это то что и требовалось доказать.

Пример 3.Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in\{x\}$ и $y\in\{y\}$.
Доказать равенства:
a) $\inf\{x+y\}\;=\;\inf\{x\}\;+\;\inf\{y\}$;
b) $sup\{x+y\}\;=\;sup\{x\}\;+\;sup\{y\}$;[2]

Решение

a)Предположим что это не так.
Обозначим $a=\;\inf\{x\}\;,\;b=\inf\{y\}$. Тогда $\exists x_0\in\{x\},y_0\in\{y\}:\;x_0+y_0<a+b$, то есть $(x_0-a)+(y_0-b)<0$. Но это невозможно так как $x_0>a\Rightarrow x_0-a>0,\;y_0>b\Rightarrow y_0-b>0$, а сумма двух положительных не может дать отрицательное. Что значит что наше предположение не верно, а верно то что и требовалось доказать.
b)Из примера (а) если заменить $\{x\}$ на $\{-x\}$ и $\{y\}$ на $\{-y\}$ получим $\inf\{-x-y\}\;=\;\inf\{-x\}\;+\;\inf\{-y\}$. Из примера (1а) можно заметить что $-\sup\{x+y\}\;=\;-\sup\{x\}\;-\;\sup\{y\}$. Домножив на $-1$ обе части равенства получим то что и требовалось доказать.

Литература

Тест. Целые числа. Принцип Архимеда.

это тест для того что бы вы узнали что вы выучили и что не выучили с этой лекции

М697. Пузатость прямоугольника

Задача

разделение квадрата на прямоугольники

Назовем пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите ,что, как бы не резать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Доказательство

Будем считать что длина стороны квадрата равна 1. Тогда пусть мы разбили квадрат на n прямоугольников размерами a_k\times b_k причем при всех k a_k\leq b_k

Одно из возможных разбиений квадрата на прямоугольники

тогда:

{\textstyle1\geq b_k\Rightarrow\frac1{b_k}\geq b_k\Rightarrow\frac{a_k}{b_k}\geq a_k\times b_k\Rightarrow\sum_{k=1}^n}\frac{a_k}{b_k}\geq{\textstyle\sum_{k=1}^n}a_k\times b_k=1 (сумма {\textstyle\sum_{k=1}^n}a_k\times b_k является суммой площадей прямоугольников и по свойству площади равна площади квадрата (то есть 1)).

А это значит что:

{\textstyle\sum_{k=1}^n}\frac{a_k}{b_k}\geq1 . А это и значит, что как бы не резать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Что и требовалось доказать.