Определение
Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где
$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.
Действия над комплексными числами:
Пусть даны два числа:
$z_{1}=a+ib$,
$z_{2}=c+id$
- Cравнение:
$z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$ - Сложение:
$z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$ - Вычитание:
$z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$ - Умножение:
$z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
$=(ac-bd)+(ad+bc)i$ - Деление:
$ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
$ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$
Примеры действий над комплексными числами:
- Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
$z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:$z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
$z_{3}=13+2i$ - Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
$z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:$z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
$z_{3}=22+29i \\ $ - Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
$ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
$ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
$ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
$ = -\frac{1}{2}+19i $ - Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
$\quad$
$(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
$3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
$(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:
$ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
$ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
$ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
$ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$
$\quad$
Литература:
- Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
- А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116
Алгебраическая форма комплексного числа
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
Информация
Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 6
1.
Количество баллов: 1Найти произведение двух комплексных чисел [latex]z_{1}=-1+3i[/latex]
[latex]z_{2}=5+i[/latex]Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 6
2.
Количество баллов: 1Выберите правильно выполненные сложения комплексных чисел
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 6
3.
Количество баллов: 1Два комплексных числа называются равными, если равны их
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 6
4.
Количество баллов: 1
Вычислить выражения:
$ \large\frac{5+i}{1-i}$
$(8-2i)^{2}$
$(3-i)(3+i)$
$ \large\frac{1+i}{2+2i}$-
$2+3i$
-
$60-16i$
-
$10$
-
$ \frac{1}{2}$
Правильно
Неправильно
-
-
Задание 5 из 6
5.
Количество баллов: 1Отсортировать в правильном порядке:
Элементы сортировки
- $-1$
- $-i$
- $i$
- $1$
-
$i^{30}$
-
$i^{13}$
-
$-i^{33}$
-
$-i^{4}$
Правильно
Неправильно
-
Задание 6 из 6
6.
Количество баллов: 1
Вставить пропущенное слово:
Число $z$, записанное в виде $z=a+ib$ называется- (алгебраической) формой комплексного числа.
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||