Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z_{1}=a+ib,
z_{2}=c+id

  • Cравнение:
    $z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
    т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$
  • Сложение:
    $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$
  • Вычитание:
    $z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$
  • Умножение:
    $z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
    $=(ac-bd)+(ad+bc)i$
  • Деление:
    $ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
    $ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:

    $z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
    $z_{3}=13+2i$

  • Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:

    $z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
    $z_{3}=22+29i \\ $

  • Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
    $ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
    $ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
    т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
    $ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
    $ = -\frac{1}{2}+19i $
  • $\quad$

  • Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
    $\quad$
    $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
    $3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
    $(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    $ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $

    Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии



Теоретический материал, который понадобится для решения задач по данной теме:

Определение 1

Скалярное произведение двух векторов, отличных от нуля $\, \bar{a}$ и $\bar{b}$, —  число, равное произведению длин этих  векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: $ (\bar{a} , \bar{b}) = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}} $

Спойлер

Найти скалярное произведение векторов (c,d)

 \bar{c}=-2\bar{a} + \bar{b} \ , $\quad$  \bar{d}= \bar{a}-\bar{b} ,
если   |\bar{a}|=4\sqrt{2} , $\quad$ |\bar{b}|=8, $\quad$ \widehat{(a,b)} = \frac{\pi}{4}

Решение:

(\bar{c} , \bar{d})=(-2\bar{a} + \bar{b})(\bar{a} - \bar{b})=
-2\bar{a} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{a} + 2\bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{b} =
=-2\bar{a}^{2} + 3\bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b}^{2} =
 = -2\bar|{a}|^{2} + 3|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}} - |\bar{b}|^{2} =
=-2 \cdot (4\sqrt{2})^{2} + 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos\frac{\pi}{4} - 8^{2} =
=-64 + 96\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 64 = -32

[свернуть]

Определение 2

Векторным произведением вектора $ \bar{a} $ на вектор $ \bar{b} $
называется такой вектор $ \bar{c} $, удовлетворяющий следующим условиям:

  • $ \bar{c} \perp \bar{a} $, $ \bar{c} \perp \bar{b} $
  • тройка $ < \bar{a} $ ,$ \bar{b} $, $ \bar{c} > $ — правая (некомпланарная тройка векторов называется правой, если векторы в ней можно представить, как располагаются большой, указательный и средний пальцы правой руки)
  • $ |\bar{c}| = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \sin {\widehat{(a,b)}} $

Обозначается:$ \, \bar{c} = \left[\bar{a}, \bar{b} \right]$

Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения$\quad$ $ |\bar{c}| = |\left[\bar{a}, \bar{b} \right]|$ $\quad$ равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\ \bar{b}$.
рисунок-1

Спойлер

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$
$\bar{a}=(\sqrt{2},2,\sqrt{3})$, $\bar{b}=(1,1,\sqrt{2})$, $\widehat{(\bar{a},\bar{b})} = \frac{\pi}{6}$

Решение:

Используя упомянутое свойство о том, что площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю их векторного произведения получим:

$S_{параллелограмма} \,= \,[\bar{a} \cdot \bar{b}]$ $=|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot sin{\widehat{(\bar{a},\bar{b})}}$

Найдем модули данных векторов:
$|\bar{a}|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=3$
$|\bar{b}|=\sqrt{(1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$

$S_{параллелограмма} \,=3 \cdot 2 \cdot sin{\frac{\pi}{6}}=3$

[свернуть]

Определение 3

Смешанным произведением векторов $ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) $ называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий.

Обозначается: $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = $ $ ([\bar{a}, \bar{b}], \bar{c} )$

Формула, по которой вычисляется смешанное произведение правой тройки векторов:
$ \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \, \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \, \bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}) \, $,
заданных в ортонормированном базисе $ \, \bar{i},\bar{j},\bar{k}$ :

$ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix}
a_{1}& a_{2}&a_{3} \\
b_{1} &b_{2} &b_{3} \\
c_{1}&c_{2} & c_{3}
\end{vmatrix} $ $\quad$ (1)

Геометрический смысл смешанного произведения заключается в том, что смешанное произведение векторов равно численному значению объема параллелепипеда, образованного на этих векторах, со знаком «-» если тройка $ \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} $ левая и со знаком «+» если тройка правая.
рисунок-1

Спойлер

Найти объем параллелепипеда построенного тройке векторов
$ < \bar{a} $ ,$ \bar{b} $, $ \bar{c} > $, если $\,\bar{a}=(2,-2,4) $, $ \, \bar{b}=(0,8,6)$, $ \, \bar{b}=(6,4,-12)$:

Решение:

Как было упомянуто выше, для того, чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на тройке векторов нужно найти смешанное произведение этих векторов.

Воспользуемся формулой (1):

$ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix}
2& -2 & 4 \\
0& 8 & 6 \\
6& 4 & -12
\end{vmatrix} =$

Раcскроем определитель по первому столбцу:
$=\begin{vmatrix}
8 & 6 \\
4 & -12
\end{vmatrix} +$ $3 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 4 \\
8 & 6 \\
\end{vmatrix} =$ $(-96-24)+3(-12-32)=-63$

$ V_{пар-да}=|-63|=63$

[свернуть]

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. В.В. Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, стр. 108-111, 85-87
  3. О.Н.Цубербиллер Задачи и упражнений по аналитической геометрии. СПб.: Лань, 2003. стр.208-217

Решение задач на все виды произведений направленных отрезков.


Таблица лучших: Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных