Координаты вектора

Пусть в пространстве заданы две точки $B_1\left(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2\right),$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$ Из точки $O,$ которая является началом координат, проведем два направленных отрезка $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}.$

Данный рисунок представляет собой геометрическую интерпретацию нахождения разности двух векторов, которой мы и воспользуемся для выведения формулы. Также для удобства введем базисные векторы $i,$ $j,$ $k$ и, разложив по ним вектора $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2},$ получим: $$\overline{B_1B_2} = \overline{OB_2}-\overline{OB_1} = \alpha_2i + \beta_2j + \gamma_2k-\left(\alpha_1i+\beta_1j+\gamma_1k\right) = \\ =\alpha_2i+\beta_2j+\gamma_2k-\alpha_1i-\beta_1j-\gamma_1k = \\=\left(\alpha_2i-\alpha_1i\right)+\left(\beta_2j-\beta_1j\right)+\left(\gamma_2k-\gamma_1k\right) = \\ = \left(\alpha_2-\alpha_1\right)i+\left(\beta_2-\beta_1\right)j+\left(\gamma_2-\gamma_1\right)k.$$

Отсюда видно, что для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из каждой координаты конца вычесть соответствующую координату начала: $$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1,\gamma_2-\gamma_1\right).$$

Для случая на плоскости формула примет следующий вид:$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1\right),$ где положение точек $B_1\left(\alpha_1,\beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2\right)$ определяется двумя координатами.

Пример

Найти координаты вектора $\overline{MN},$ если $\overline{NL}\left(-5, 6, 3\right),$ $\overline{LM}\left(4, -2, -6\right),$ а точка $L\left(1, 5, -3\right).$

Решение

Обозначим координаты точки $N\left(x, y, z\right),$ а точки $M\left(m, n, p\right).$ Координаты вектора $\overline{NL}$ можно записать следующим образом:$$\left(1-x, 5-y, -3-z\right) = \left(-5, 6, 3\right),$$ $$\begin{equation*}\begin{cases}1-x = -5, \\ 5-y = 6, \\ -3-z = 3.\end{cases}\end{equation*}$$ Откуда $N\left(6, -1, -6\right).$ Аналогично найдем координаты точки $M:$ $$\left(m-1, n-5, p+3\right) = \left(4, -2, -6\right),$$ $$\begin{equation*}\begin{cases}m-1 = 4, \\ n-5 = -2, \\ p+3 = -6.\end{cases}\end{equation*}$$ Откуда $M\left(5, 3, -9\right).$ Значит $\overline{MN} = \left(6-5, -1-3, -6+9\right) = \left(1, -4, 3\right).$

Ответ: $\overline{MN} = \left(1, -4, 3\right).$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 79)
  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, $§$ 3, «Простейшие задачи аналитической геометрии» (стр. 17)

Координаты проекций вектора на оси координат и координатные плоскости

Пусть заданы точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ также определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$

Определение. Проекцией вектора $\overline{B_1B_2}$ называется вектор, полученный проектированием точек $B_1$ и $B_2$ на какую либо ось или плоскость.

Наша задача заключается в нахождении координат этой проекции. Прежде всего необходимо выяснить способ нахождения координат проекций точки. Например, спроектировав точку $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ на ось абсцисс, получим $B_{1x}\left(\alpha_1, 0, 0\right).$ Точно таким же образом получаем и точку $B_{2x}\left(\alpha_2, 0, 0\right):$

Понятно, что в случае плоскости проекция точки будет иметь две ненулевые координаты: $B_{1xy}\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)$ и $B_{2xy}\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$ Для всех остальных плоскостей и осей аналогично. Теперь нам достаточно лишь воспользоваться формулой для вычисления координат вектора: $\overline{B_{1x}B_{2x}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, 0, 0\right),$ а, например, $\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, \beta_2 -\beta_1, 0\right).$

Для двумерного пространства разница будет заключаться лишь в том, что точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2\right)$ определяются двумя координатами. Рассуждения же остаются аналогичными.

Пример

Даны точки $A\left(-3, 2, 5\right)$ и $B\left(6, -3, -1\right),$ определяющие соответствующий вектор $\overline{AB}.$ Найти координаты проекций этого вектора на все координатные плоскости.

Решение

Вначале найдем проекции точек $A$ и $B$ на координатные плоскости. Например, на плоскости $xy$ точки имеют следующие координаты: $A_{xy}\left(-3, 2, 0\right),$ $B_{xy}\left(6, -3, 0\right).$

Аналогично для остальных плоскостей: $A_{yz}\left(0, 2, 5\right),$ $B_{yz}\left(0, -3, -1\right),$ $A_{xz}\left(-3, 0, 5\right),$ $B_{xz}\left(6, 0, -1\right).$ Теперь можно найти координаты проекций вектора $\overline{AB}:$ $$\overline{A_{xy}B_{xy}} = \left(6+3, -3-2, 0-0\right) = \left(9, -5, 0\right),$$ $$\overline{A_{yz}B_{yz}} = \left(0-0, -3-2, -1-5\right) = \left(0, -5, -6\right),$$ $$\overline{A_{xz}B_{xz}} = \left(6+3, 0-0, -1-5\right) = \left(9, 0, -6\right).$$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 79-80)
  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, $§$ 7 «Выражение проекций вектора через координаты конца и начала» (стр. 136-137)
  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, $§$ 3, пункт 1, «Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось» (стр. 17)

М1776. Беспокойная семейка

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 3 выпуск)

Условие

Час назад каждый брат в семье был в ссоре с одинаковым количеством сестер, а каждая сестра – с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одинаковым количеством братьев, а каждый брат – с различным количеством сестер. Сколько сестер и братьев в этой беспокойной семье?

Решение

Обозначим через $n$ количество братьев, через $m$ – количество сестер; пусть до примирения каждый брат был в ссоре с $k$ сестрами. Из условия задачи следует, что $n \leqslant 2$, $m \leqslant 3$ . Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.

$\textbf{1°}. m \leqslant n$.

Пронумеруем сестер по возрастанию количества ссор с братьями. Пусть первая сестра час назад была в ссоре с $a_1$ братьями, вторая – с $a_2$ братьями, $\ldots$,  $m$-я – с $a_m$ братьями, причем\begin{equation}\label{m1719_first} a_1\lt a_2\lt\ldots \lt a_m \leqslant n.\end{equation}Поскольку после примирения каждая сестра оставалась в ссоре с одинаковым количеством братьев, то
\begin{equation}\label{m1719_second}1\leqslant a_1.\end{equation}Из $(1)$ и $(2)$ следует утверждение $1°$.

$\textbf{2°}. k \lt m$.

Поскольку $a_i \lt n$ для всех $i \lt m$, то $$nk=\sum\limits_{i=1}^ma_i \lt nm,$$ откуда следует утверждение $2°$.

$\textbf{3°}. k \geqslant n − 1$.

Пронумеруем братьев по возрастанию количества ссор после примирения. Пусть первый брат после примирения остался в ссоре с $b_1$ сестрами, второй брат – с $b_2$ сестрами, $\ldots$, $n$-й брат – с $b_n$ сестрами, причем $$ 0\leqslant b_1 \lt b_2 \lt b_3 \lt \ldots \lt b_n \leqslant k.$$ Сначала получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ сверху, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}b_n \leqslant k,\\b_{n-1}\leqslant k-1,\\ \ldots \\b_1\leqslant k-(n-1);\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_third}\sum\limits_{i=1}^nb_i\leqslant kn-\frac {n(n-1)}{2}.\end{equation}$$Аналогично получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ снизу, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}0 \leqslant b_1,\\1\leqslant b_2,\\ \ldots \\n-1\leqslant b_n;\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_forth}\frac{(n-1)n}{2}\leqslant \sum\limits_{i=1}^nb_i.\end{equation}$$Объединяя неравенства $(3)$ и $(4)$, получаем$$\frac{(n-1)n}{2}\leqslant kn-\frac{n(n-1)}{2},$$откуда получаем утверждение $3°$. Результаты $1°$, $2°$, $3°$ запишем в виде цепочки$$n\geqslant m\gt k \geqslant n-1,$$откуда следует $n =m$, $k = n -1$. Для дальнейшего решения нам понадобятся следующие утверждения.

$\textbf{4°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}a_m\leqslant n,\\a_m-1\leqslant n-1,\\ \ldots \\a_1\leqslant n-(m-1),\end{cases}\end{equation*}$$находим$$nk =\sum\limits_{i=1}^ma_i\leqslant nm-\frac{m(m-1)}{2}.$$С учетом того, что $n =m$, отсюда и получаем утверждение $4°$.

$\textbf{5°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}1\leqslant a_1,\\2\leqslant a_2,\\ \ldots \\m\leqslant a_m,\end{cases}\end{equation*}$$находим$$\frac{m(m+1)}{2}\leqslant\sum\limits_{i=1}^ma_i =nk.$$ С учетом того, что $n =m$, отсюда получаем утверждение $5°$.

Итак, $k = n -1 = \dfrac{n+1}{2}$, откуда $n =3$, $m =3$, $k =2$.

Ситуация до примирения и после примирения показана
на рисунках $1$ и $2$ соответственно (дугами обозначены ссоры).

Итак, в беспокойной семейке $3$ сестры и $3$ брата. Решение единственное.

И. Акулич, А. Жуков