Пусть заданы точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ также определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$

Определение. Проекцией вектора $\overline{B_1B_2}$ называется вектор, полученный проектированием точек $B_1$ и $B_2$ на какую либо ось или плоскость.

Наша задача заключается в нахождении координат этой проекции. Прежде всего необходимо выяснить способ нахождения координат проекций точки. Например, спроектировав точку $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ на ось абсцисс, получим $B_{1x}\left(\alpha_1, 0, 0\right).$ Точно таким же образом получаем и точку $B_{2x}\left(\alpha_2, 0, 0\right):$

Понятно, что в случае плоскости проекция точки будет иметь две ненулевые координаты: $B_{1xy}\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)$ и $B_{2xy}\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$ Для всех остальных плоскостей и осей аналогично. Теперь нам достаточно лишь воспользоваться формулой для вычисления координат вектора: $\overline{B_{1x}B_{2x}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, 0, 0\right),$ а, например, $\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, \beta_2 -\beta_1, 0\right).$

Для двумерного пространства разница будет заключаться лишь в том, что точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2\right)$ определяются двумя координатами. Рассуждения же остаются аналогичными.