Анна Семененко

Processing math: 100%

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл	Значение
$\int dx$	$x+C$
$\int a^xdx$	$\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\int e^xdx$	$e^x+C$
$\int x^adx$	$\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\int \frac{dx}{x}$	$\ln\|{x}\|+C$
$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}+C$
$\int \cos xdx$	$\sin x+C$
$\int \sin xdx$	$-\cos x+C$
$\int \mathop{\rm sh} xdx$	$\mathop{\rm ch} x+C$
$\int\mathop{\rm ch} xdx$	$\mathop{\rm sh} x+C$
$\int \frac{dx}{\sin^2x}$	$\mathop{\rm -ctg} x + C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}$	$\mathop{\rm th} x+ C$
$\int \frac{dx}{\cos^2x}$	$\mathop{\rm tg}x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}$	$\mathop{\rm -cth}x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$\ln\|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\|\frac{a+x}{a-x}\|+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\|\frac{x-a}{x+a}\|+C$

Решите примеры:

$\int (2x-3)dx$

Спойлер

$x^2-3x+C$

[свернуть]
$\int \cos^2xdx$

Спойлер

$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

[свернуть]
$\int (2x-3)^2dx$

Спойлер

$\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

[свернуть]

Литература

Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.

Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается

$\int f(x)dx.$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]

[свернуть]

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Спойлер

Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]

[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]

Действительно,

[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство

[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].

[свернуть]

Литература.

Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.

[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]

Спойлер

Пусть [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].

Пусть [latex]F(x)-G(x)=H(x)[/latex]. Найдем производную

[latex]H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0[/latex]

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]

Литература.

Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{

$\begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array}$ \right.[/latex]

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.

Спойлер

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
[latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex] [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

Спойлер

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Спойлер

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

Литература

Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Таблица лучших: Таблица основных интегралов

Спойлер

Спойлер

Спойлер

Свойства неопределённого интеграла

Спойлер

Спойлер

Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

Спойлер

Литература.

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

Примеры

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Определение первообразной