Автор: Анна Семененко

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
$\int dx$ $x+C$
$\int a^xdx$ $\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\int e^xdx$ $e^x+C$
$\int x^adx$ $\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\int \frac{dx}{x}$ $\ln|{x}|+C$
$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$ $\sqrt{x}+C$
$\int \cos xdx$ $ \sin x+C$
$\int \sin xdx$ $ -\cos x+C$
$\int \mathop{\rm sh} xdx$ $ \mathop{\rm ch} x+C$
$ \int\mathop{\rm ch} xdx$ $\mathop{\rm sh} x+C$
$\int \frac{dx}{\sin^2x}$ $ \mathop{\rm -ctg} x + C $
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}$ $ \mathop{\rm th} x+ C$
$\int \frac{dx}{\cos^2x}$ $ \mathop{\rm tg}x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$ $\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}$ $\mathop{\rm -cth}x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ $\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ $\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

Решите примеры:

  1. $\int (2x-3)dx$
    Спойлер

    $x^2-3x+C$

    [свернуть]
  2. $\int \cos^2xdx$ 
    Спойлер

    $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

    [свернуть]
  3. $\int (2x-3)^2dx$
    Спойлер

    $\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

    [свернуть]

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]

[свернуть]

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Спойлер

  Если функция [latex]F[/latex] дифференцируема на некотором промежутке, то 

[latex]\int dF(x)=F(x)+C[/latex] 

 или

[latex]\int F'(x)dx=F(x)+C[/latex]. 

 

Это следует из определения первообразной.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex] и  [latex]\int g(x)dx=G(x)+C[/latex], то  [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C[/latex], или

[latex]\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx[/latex]


Действительно, при наших предположениях имеет место равенство

[latex](F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x).[/latex]

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или

[latex]\int[\alpha f(x)] dx=\alpha \int f(x) dx[/latex]

Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]

[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]

Действительно,

[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].

 

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство

[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].

 

[свернуть]

Литература.

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
  4. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
  5. В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

 Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.

[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]

Спойлер

Пусть  [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].

Пусть [latex]F(x)-G(x)=H(x)[/latex]. Найдем производную

[latex]H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0[/latex]

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]

Литература.

  1. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.[/latex]

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].

При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По  теореме*  предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

    1. Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
    2. [latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex]     [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=x^3[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=2\sqrt{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=\frac{1}{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=sin(x)[/latex]

[свернуть]

 

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

cos

Литература

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных