Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
[latex s=1]\int dx[/latex] [latex s=1]x+C[/latex]
[latex s=1]\int a^xdx[/latex] [latex s=1]\frac{a^x}{\ln{a}}+C[/latex]
[latex s=1]\int e^xdx[/latex] [latex s=1]e^x+C[/latex]
[latex s=1]\int x^adx[/latex] [latex s=1]\frac{x^{a+1}}{a+1}+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{x}[/latex] [latex s=1]\ln|{x}|+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}[/latex] [latex s=1]\sqrt{x}+C[/latex]
[latex s=1]\int \cos xdx[/latex] [latex s=1] \sin x+C[/latex]
[latex s=1]\int \sin xdx[/latex] [latex s=1] -\cos x+C[/latex]
[latex s=1]\int \mathop{\rm sh} dx[/latex] [latex s=1] \mathop{\rm ch} x+C[/latex]
[latex s=1] \int\mathop{\rm ch} xdx[/latex] [latex s=1]\mathop{\rm sh} x+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\sin^2x}[/latex] [latex s=1] \mathop{\rm tg} x + C [/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}[/latex] [latex s=1] \mathop{\rm th} x+ C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\cos^2x}[/latex] [latex s=1] \mathop{\rm -ctg}x +C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{a^2+x^2}[/latex] [latex s=1]\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}[/latex] [latex s=1]\mathop{\rm -cth}+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}[/latex] [latex s=1]\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}[/latex] [latex s=1]\arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{a^2-x^2}[/latex] [latex s=1]\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C[/latex]
[latex s=1]\int \frac{dx}{x^2-a^2}[/latex] [latex s=1]\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C[/latex]

Решите примеры:

  1. [latex]\int (2x-3)dx[/latex]
    Спойлер

    [latex]x^2-3x+C[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]\int \cos^2xdx[/latex] 
    Спойлер

    [latex]\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C[/latex]

    [свернуть]
  3. [latex]\int (2x-3)^2dx[/latex]
    Спойлер

    [latex]\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C[/latex]

    [свернуть]

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается

$$\int f(x)dx$$.

Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] —какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

 

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]