Автор: Олег Шпинарев

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

• Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$.
•  Если $f(x_{0}) \neq 0$, то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
  ( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$.
•  Если функция $g: U_{E} (x_{0})$ $\rightarrow R$ также непрерывна в точке $x_{0}$, то следующие функции непрерывны в точке $x_{0}$:
  • $f+g$
  • $f \cdot g$
  • $\Large \frac{f}{g}$

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$, а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$, $f(x_{0})=y_{0}$, $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке  $x_{0}$, то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$.

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$.

Источники:

1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.441-462)
• З.М. Лысенко Конспект лекций.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно