Теоретический материал

Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(1,2,3)$

$x_{2}=(3,6,7)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}=0$

$\alpha_{1}(1,2,3)+\alpha_{2}(3,6,7)=0$

$(\alpha_{1},2\alpha_{1},3\alpha_{1})+(3\alpha_{2},6\alpha_{2},7\alpha_{2})=0$

$(\alpha_{1}+3\alpha_{2},2\alpha_{1}+6\alpha_{2},3\alpha_{1}+7\alpha_{2})=0$

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix} \alpha_{1} &+3\alpha_{2} &=0 \\ 2\alpha_{1}&+6\alpha_{2} &=0 \\ 3\alpha_{1}&+7\alpha_{2} &=0 \end{matrix}\right.$

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

 Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(5,4,3)$

$x_{2}=(3,3,2)$

$x_{3}=(8,1,3)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\alpha_{3}x_{3}=0$

$\alpha_{1}(5,4,3)+\alpha_{2}(3,3,2)+\alpha_{3}(8,1,3)=0$

$(5\alpha_{1},4\alpha_{2},3\alpha_{3})+(3\alpha_{1},3\alpha_{2},2\alpha_{3})+(8\alpha_{1},\alpha_{2},3\alpha_{3})=0$

Составим систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix} 5\alpha_{1}&+4\alpha_{2} &+,3\alpha_{3} &=0 \\ 3\alpha_{1}&+3\alpha_{2} &+2\alpha_{3} &=0 \\ 8\alpha_{1}&+\alpha_{2} &+3\alpha_{3} &=0 \end{matrix}\right.$

Решим систему уравнений методом Гаусса.

$\begin{pmatrix} 5 &4 &3 \\ 3&3 &2 \\ 8&1 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1&-2 &-1 \\ 0&-3 &-1 \\ 0&-15 &-5 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} -1 &-2 &-1 \\ 0&-3 &-1 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} -\alpha_{1}&-2\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \\ &-3\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \end{matrix}\right.$

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

$\alpha_{3}=-3\alpha_{2}$

$\alpha_{1}=\alpha_{2}$

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Литература

• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с.90-99

Теорема (критерий ЛНЗ)

Система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства

[latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0 [/latex]

следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации

[latex](\alpha_{1}=\alpha_{2}=…=\alpha_{n}=0 )[/latex].

Доказательство

Необходимость. Пусть система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex]  линейно независима, но существуют числа [latex]\alpha_{1},…,\alpha_{n}[/latex], не все равные нулю, такие, что

[latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex]

Допустим, что [latex]\alpha_{k} \neq 0[/latex]. Тогда из этого равенства [latex]a_{k}[/latex] определяется как линейная комбинация остальных векторов из [latex]a_{1},…,a_{n}[/latex]. Это означает, что система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex], согласно определению, линейно зависима, что противоречит предположению.

Достаточность. Пусть теперь указанное выше равенство выполняется только тогда, когда все числа [latex]\alpha_{1},…,\alpha_{n}[/latex] равны нулю. Предположим, однако, что система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно зависима. Это означает, что один из векторов [latex]a_{k}[/latex] линейно выражается через остальные, т.е.

[latex]a_{k}=\alpha_{1}a_{1}+…+\alpha_{k-1}a_{k-1}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+…+\alpha_{n}a_{n}[/latex]

Но тогда

[latex]\alpha_{1}a_{1}+…+\alpha_{k-1}a_{k-1}+(-1)a_{k}+\alpha_{k+1}a_{k+1}+…+\alpha_{n}a_{n}[/latex]

и не все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю, что противоречит условию. Поэтому система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно независима.

Пример

Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>[/latex] линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

[latex]\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,1,0)+\alpha_{3}(0,0,1)=0\Rightarrow[/latex]

[latex](\alpha_{1},0,0)+(0,\alpha_{2},0)+(0,0,\alpha_{3})=0\Rightarrow[/latex]

[latex](\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=0\Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0[/latex]

Т.е. система [latex]S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>[/latex] линейно независима по критерию ЛНЗ.

Теорема (первый критерий ЛЗ)

Система [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно зависима тогда и только тогда, когда существует линейная комбинация [latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] с ненулевым набором коэффициентов.

Пример

Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)>[/latex] линейно независимой.

Составим линейную комбинацию из векторов системы:

[latex]\alpha_{1}(1,0,0)+\alpha_{2}(0,2,0)+\alpha_{3}(1,2,0)=0\Rightarrow[/latex]

[latex](\alpha_{1},0,0)+(0,2\alpha_{2},0)+(\alpha_{3},2\alpha_{3},0)=0\Rightarrow[/latex]

[latex](\alpha_{1}+\alpha_{3},2\alpha_{2}+2\alpha_{3},0)=0[/latex]

При [latex]\alpha_{1}=1[/latex] и [latex]\alpha_{3}=-1[/latex] линейная комбинация равна нулю, т.е. система линейно зависима по первому критерию.

Теорема (второй критерий ЛЗ)

Векторы [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex] линейно зависимы тогда и только тогда, когда либо [latex]a_{1}=0[/latex], либо некоторый вектор [latex]a_{k}[/latex], [latex]2\leq k\leq n[/latex], является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство

Предположим, что векторы [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex] линейно зависимы. Тогда в линейной комбинации, составленной из этих векторов не все коэффициенты равны нулю. Пусть последний ненулевой коэффициент есть [latex]\alpha_{k}[/latex]. Если [latex]k=1[/latex], то это означает, что [latex]a_{1}=0[/latex]. Пусть теперь [latex]k>1[/latex]. Тогда из равенства [latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] находим, что

[latex]a_{k}=\left ( -\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{k}}\right )a_{1}+\left ( -\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{k}} \right )a_{k}+…+\left ( -\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_{k}} \right )a_{k-1}[/latex]

Этим доказана необходимость утверждения, сформулированного в теореме. Достаточность очевидна, поскольку и случай, когда [latex]a_{1}=0[/latex], и случай, когда вектор [latex]a_{k}[/latex] линейно выражается через предшествующие векторы, означает линейную зависимость первых векторов из [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex]. Но отсюда следует линейная зависимость и всей системы векторов.

Пример

Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,4,0)>[/latex] линейно независимой.

Данная система является линейно зависимой по второму критерию, т.к. третий вектор является линейной комбинацией первых двух:

[latex](1,4,0)=(1,0,0)+2\cdot(0,2,0)[/latex]

 Литература

• Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С.
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 с. 44-47.
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 c.63-70

Критерии ЛЗ и ЛНЗ

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест для проверки знаний по теме: «Критерии линейной зависимости и линейной независимости»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Сформулируйте условие критерия линейной независимости.

   • $S=\left \langle a_{1},a_{2},..,a_{n}\right \rangle$ - ЛНЗ
   • $\Leftrightarrow$
   • $\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+...+\alpha_{n}a_{n}=0$
   • $\Rightarrow$
   • $\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Если существует линейная комбинация [latex]\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] с ненулевым набором коэффициентов, то система [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] …
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Закончить утверждение
3. Задание 3 из 4

   3.

   Какое условие является необходимым и достаточным во втором критерии линейной зависимости?

   • $a_{1}=0$, либо $a_{k}$,$2\leq k\leq n$, является линейной комбинацией других векторов
   • $a_{1}=0$ и $a_{k}$, $2\leq k\leq n$, не является линейной комбинацией других векторов
   • $a_{1}\neq0$, либо $a_{k}$, $1\leq k\leq n-1$, является линейной комбинацией других векторов
   • $a_{1}\neq a_{i}$, $1\leq i\leq n$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Составить соответствие  «критерий — формулировка».

   Элементы сортировки

   • $S=(a_{1},...,a{n})$ - ЛНЗ $\Leftrightarrow (\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}a_{n})=0\Rightarrow$ $\alpha_{1}+\alpha{2}=...=\alpha_{n}=0$
   • $S=(a_{1},...,a{n})$ - ЛЗ $\Leftrightarrow \exists$ линейная комбинация равная нулю с ненулевым набором коэффициэнтов.
   • $S=(a_{1},...,a{n})$ - ЛЗ $\Leftrightarrow a_{1}=0 \vee \exists i \; 2\leq i\leq n$ $a_{i}=\alpha_{1}a_{1}+...+\alpha_{i-1}a_{i-1}$

   • Критерий ЛНЗ

   • Первый критерий ЛЗ

   • Второй критерий ЛЗ

   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.

Примеры:

1. Группа корней n-ой степени из единицы $U_{n}$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.
2. Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.

 Лемма

Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство

Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.

Литература

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.23-27
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 c.401-403

Циклические группы и их подгруппы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на тему «Циклические группы и их подгруппы».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какая из групп является циклической?

   • $(\mathbb{Z},+)$
   • $(\mathbb{Z},\cdot)$
   • $(\left \{ 1;3;5;6;7 \right \},+)$
   • $(\left \{4;8;16;20 \right \},\cdot)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   
   
   Укажите порядок группы $(\left \{1,3,9,27,81 \right \},\cdot)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Расположите группы в порядке возрастания их образующих элементов.

   • $$(\left \{-8;-2;1;16 \right \},+)$$
   • $$(\mathbb{Z},+)$$
   • $$(\left \{1;5;125;3125 \right \},\cdot)$$
   • $$(\left \{1;12;144 \right \},+)$$
   Правильно
   

   Неправильно