Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.
Необходимость. Пусть система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно независима, но существуют числа [latex]\alpha_{1},…,\alpha_{n}[/latex], не все равные нулю, такие, что
Допустим, что [latex]\alpha_{k} \neq 0[/latex]. Тогда из этого равенства [latex]a_{k}[/latex] определяется как линейная комбинация остальных векторов из [latex]a_{1},…,a_{n}[/latex]. Это означает, что система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex], согласно определению, линейно зависима, что противоречит предположению.
Достаточность. Пусть теперь указанное выше равенство выполняется только тогда, когда все числа [latex]\alpha_{1},…,\alpha_{n}[/latex] равны нулю. Предположим, однако, что система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно зависима. Это означает, что один из векторов [latex]a_{k}[/latex] линейно выражается через остальные, т.е.
и не все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю, что противоречит условию. Поэтому система векторов [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно независима.
Пример
Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>[/latex] линейно независимой.
Т.е. система [latex]S=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>[/latex] линейно независима по критерию ЛНЗ.
Теорема (первый критерий ЛЗ)
Система [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] линейно зависима тогда и только тогда, когда существует линейная комбинация [latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] с ненулевым набором коэффициентов.
Пример
Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)>[/latex] линейно независимой.
При [latex]\alpha_{1}=1[/latex] и [latex]\alpha_{3}=-1[/latex] линейная комбинация равна нулю, т.е. система линейно зависима по первому критерию.
Теорема (второй критерий ЛЗ)
Векторы [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex] линейно зависимы тогда и только тогда, когда либо [latex]a_{1}=0[/latex], либо некоторый вектор [latex]a_{k}[/latex], [latex]2\leq k\leq n[/latex], является линейной комбинацией предшествующих векторов.
Доказательство
Предположим, что векторы [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex] линейно зависимы. Тогда в линейной комбинации, составленной из этих векторов не все коэффициенты равны нулю. Пусть последний ненулевой коэффициент есть [latex]\alpha_{k}[/latex]. Если [latex]k=1[/latex], то это означает, что [latex]a_{1}=0[/latex]. Пусть теперь [latex]k>1[/latex]. Тогда из равенства [latex]\alpha_{1} a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] находим, что
Этим доказана необходимость утверждения, сформулированного в теореме. Достаточность очевидна, поскольку и случай, когда [latex]a_{1}=0[/latex], и случай, когда вектор [latex]a_{k}[/latex] линейно выражается через предшествующие векторы, означает линейную зависимость первых векторов из [latex]a_{1},a_{2},…,a_{n}[/latex]. Но отсюда следует линейная зависимость и всей системы векторов.
Пример
Проверить является ли система [latex]S=<(1,0,0),(0,2,0),(1,4,0)>[/latex] линейно независимой.
Данная система является линейно зависимой по второму критерию, т.к. третий вектор является линейной комбинацией первых двух:
[latex](1,4,0)=(1,0,0)+2\cdot(0,2,0)[/latex]
Литература
Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С.
Если существует линейная комбинация [latex]\alpha_{1}a_{1}+\alpha_{2}a_{2}+…+\alpha_{n}a_{n}=0[/latex] с ненулевым набором коэффициентов, то система [latex]S=<a_{1},a_{2},..,a_{n}>[/latex] …
Правильно
Неправильно
Подсказка
Закончить утверждение
Задание 3 из 4
3.
Какое условие является необходимым и достаточным во втором критерии линейной зависимости?
Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.
Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.
Лемма
Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Доказательство
Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.
Литература
Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
