Автор: Дмитрий Стеценко

Вторая теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций

Теорема.
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $ [a,b] $, $A=f(a) \neq f(b)=B$ и число $C$ заключено между числами $A$ и $B$, то существует такая точка $c \in [a,b]$, что $f(c)=C$.
Доказательство.
Не нарушая общности будем считать, что $ A = f(a) < f(b) = B $. Рассмотри функцию $h(x)=f(x)-C$, непрерывность на отрезке $ [a,b] $ которой следует из непрерывности функции $f$. Очевидно что $h(a)=A-C<0$ и $h(b)=B-C>0$. Применяем к $h$ первую теорему Коши и находим точку $c$ в которой $h(c)=f(c)-C=0$, то-есть $ f(c)=C $. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы.
Как мы видим на рисунке изображен график функции $f(x)$(в общем произвольной), непрерывной на отрезке $[a,b]$, где $f(b) < f(a)$, $C$ произвольная точка на отрезке $[f(b),f(a)]$ и прямая $l$ задана формулой $l(x)=C$. Как мы видим, прямая $l$ обязана пересечь кривую $f(x)$ в какой-то точке $M$, лежащей на кривой $f(x)$, между точками $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$. То-есть существует такое $c\in [a,b]$, что $f(c)=C$.

Замечание 1.
Первую и вторую теоремы Коши объединяют в одну, теорему Коши о промежуточном значении функции. В таком случае, теорема о нулях функции считается частным случаем. В то же время, как видно из доказательства вторая теорема Больцано-Коши является прямым следствием первой. Также теорему Коши о промежуточном значении функции называют теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении функции.
Замечание 2.
Теорема Коши о промежуточном значении, применяется в доказательствах. Примеров на эту тему как таковых нету, но мы очень часто пользуемся этой теоремой, даже не замечая этого.
Пример.
Пусть функция $f(x)=x^{2}$ определенна и непрерывна на отрезке $[-2,2]$ .
Посчитаем значение функции в точках : $x=-0,75$, $x=0,25$, $x=1,5$.
Мы знаем что данная функция непрерывна на данном отрезке (в силу того что это полиномиальная функция), а значит, в силу второй теоремы Коши, она принимает все свои промежуточные значения и ее значения в указанных точках равны:
$f(-0,75)=0,5625$, $f(0,25)=0,0625$, $f(1,5)=2,25$.
Литература.

Вторая теорема Коши

Тест на тему: «Вторая теорема Коши»


Таблица лучших: Вторая теорема Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если $latex f \ \in \ C[a,b] $ и $latex f(a)f(b)<0 $ , то
$latex \exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0 $

Спойлер

Разделим отрезок [a,b] пополам и пусть точка $latex \alpha $ — середина этого отрезка.
Если $latex f(\alpha)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_1=[a_1,b_1] $, его длина $latex b_1-a_1 =\frac{b-a}{2} $
Пусть точка $latex \alpha_1 $ середина $latex \Delta_1 $
Если $latex f(\alpha_1)=0 $ , то теорема доказана, если $latex f(\alpha_1) \neq 0 $ , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
$latex \Delta_2=[a_2,b_2] $ , его длина $latex b_2-a_2 =\frac{b_1-a_1}{2} $
Продолжая этот процесс получим:

Для n-ого отрезке $latex \Delta_n=\frac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 $ при $latex n \rightarrow \infty $

И $latex \forall n : f(a_n)f(b_n)<0 $

Так как последовательность стягивающаяся , то по теореме Кантора:

[latex]\exists c\ \forall n\ \in \ \mathbb{N} :[/latex] $latex c \ \in \ \Delta_n $

Докажем, что f(c)=0

Докажем от противного
$latex f(c)\neq 0 \Rightarrow f(c)>0 $ либо $latex f(c)<0 $ по свойству сохранения знака непрерывной функции
$latex \exists \delta \ \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow f(x)>0 $
$latex b_n-a_n \rightarrow 0 $
$latex \forall \ \varepsilon>0 \ \exists N : \ \forall n \geq N \ |b_n-a_n|< \varepsilon $
Для $latex \delta>0 \ \exists n_0>N : b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<\delta <2 \delta $
Отрезок с номером $latex n_0 $ будет лежать в этой окрестности $latex \Rightarrow $
$latex \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow \ \forall x \ \epsilon \ \Delta_{n_{0}} : f(x)>0 $ ,
а это противоречит выбору $latex \Delta_{n_{0}} $ так как значение на левом и на правом конце отрезка, должны быть разных знаков
$latex \Rightarrow \ f(c)=0 $

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Литература:

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Свойства функций непрерывных в точке

  • Если функция $latex f$ непрерывна в точке $latex a$, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :
    $latex \exists c>0 $  $latex \exists U_\delta(a) : $
    $latex \forall x \in {U_\delta(a)} : |f(x)| < c $
    Следует из свойств пределов.
  • Если функция $latex f$ непрерывна в точке $latex a$ и $latex f(a)\neq $ 0, то в некоторой окрестности точки $latex a$ знак функции совпадает со знаком числа $latex f(a)$:
    $latex \exists U_\delta(a) : \forall x \in {U_\delta(a)} \rightarrow sign f(x)=sign f(a) $
    Следует из свойств пределов.
  • Если $latex f$ и $latex g$ непрерывны в точке $latex a$, то функции :
    $latex f \pm g , f*g , \frac{f}{g} $ непрерывны в точке $latex a$.
    Следует из непрерывности и свойств пределов.
  • Если $latex z=f(y)$ непрерывна в точке $latex y$, а $latex y=\varphi(x) $ , непрерывна в точке $latex x_0 $ причем $latex y_0=\varphi(x_0) $ , то в некоторой окрестности $latex x_0 $ определена сложная функция равная $latex f[\varphi(x)] $ которая также непрерывна в точке $latex x_0 $:
    $latex \left.\begin{matrix}\lim\limits_{y\to y_0}f(y)=f(y_0)
    \\ \lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=\varphi(x_0)\end{matrix}\right\} \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=f[\varphi(x_0)] $
    Композиция непрерывных функций также является непрерывной.

Литература:

функции непрерывные в точке

Тест на тему «функции непрерывные в точке»:

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$.
Если $ f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f $ ограничена на $[a,b]$, то есть $ \exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c $

Доказательство

От противного
Пусть $f$ не ограниченна на отрезке $[a,b]$, тогда :

$ \forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c $
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1 $
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2 $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

Получим последовательность $ \{x_n\} \subset [a,b] $ , то есть последовательность $ \{x_n\} $ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $ \xi $ , то есть

$ lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi $

$ \xi \epsilon [a,b] $ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $ \xi $ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$ lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi) $
С другой стороны
$ |f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty $
А это противоречит единственности предела$ \blacksquare $

Замечание: Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.