Метка: Ограниченная функция

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$.
Если $ f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f $ ограничена на $[a,b]$, то есть $ \exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c $

Доказательство

От противного
Пусть $f$ не ограниченна на отрезке $[a,b]$, тогда :

$ \forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c $
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1 $
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2 $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

Получим последовательность $ \{x_n\} \subset [a,b] $ , то есть последовательность $ \{x_n\} $ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $ \xi $ , то есть

$ lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi $

$ \xi \epsilon [a,b] $ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $ \xi $ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$ lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi) $
С другой стороны
$ |f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty $
А это противоречит единственности предела$ \blacksquare $

Замечание: Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена( см. Теорема об ограниченности интегрируемой функции). Однако обратное, вообще говоря, не верно.

В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле, [latex]D:\mathbb{R} \mapsto \left \{ 0,1 \right \}[/latex], принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.

Рассмотрим её на отрезке [latex][0;1][/latex]. Очевидно, что она ограничена на нём. Покажем,что она не интегрируема.

Зафиксируем произвольное разбиение [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] этого отрезка.

Если выбрать точки [latex]\xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}[/latex] рациональными, то получим интегральную сумму:

[latex]\sigma _{T}(\xi _{i};D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{1}{\underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\triangle x_{i}=b-a[/latex] Перейдём к пределу:

[latex]\lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}(\xi_{i},D)=b-a[/latex] ,

а если взять [latex]\xi _{i}[/latex] иррациональными,то

[latex]\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{0}{ \underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=0\Rightarrow \lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=0[/latex].

Как видим, предел интегральной суммы зависит от выбора промежуточных точек, следовательно, исходя из определения интегрируемой по Риману функции, [latex]D(x)[/latex] — не интегрируема по Риману.

Вывод:

ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах) — М.:Высш. школа,1981, т.1. — 687 с. (с 443)
  • Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая, А.Н.Карапетянц Методические указания по теме «Определенный интеграл»( с 6-7)

Дополнительно: