Стефания Амамджян

Разбиение на попарно непересекающиеся классы. Примеры

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Пусть $A \not = \varnothing$ , разбиением множества $A$ называется не пустое множество подмножеств $A_j \in A, j \in J$ , такое, что выполняется два условия:
1. $\bigcup{} A_j= A, j \in J$ .
2. $A_i \cap A_j= \varnothing$ , для $i \not = j$ .

Разбиение множества $S$ на классы $S_1, S_2, ...,S_6$ .

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников $A$ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $A$ .

2. Множество четырехугольников $B$ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $B$ не получено.

3. Дано множество прямых $C$ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $C$ .

4. Дано множество $N$ , которое можно разделить на два класса: $N_1$ и $N_2$ , где $N_1$ — множество натуральных четных чисел, а $N_2$ — множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество $X$ разбито на три класса: $X_1$ , $X_2$ и $X_3$ . $X_1$ множество чисел, которые делятся на $2$ , $X_2$ — множество чисел, которые делятся на $3$ , $X_3$ множество чисел, которые делятся на $5$ . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $2$ , $3$ и $5$ . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 48-49)
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 (Стр. 15-16)
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Вопросы по изложенной теме

Бинарные отношения на произвольных множествах. Примеры

Бинарные отношения на произвольных множествах.

Пусть заданы множества $X$ и $Y,$ тогда бинарным отношением $R$ из множества $X$ в множество $Y$ называется подмножество декартова произведения $X$ и $Y$ :

$R \subset X \times Y$ .

Напомним свойства отношений:

Спойлер

Пусть $R\subset A^2.$ Тогда отношение $R$ называется:

— рефлесивным, если $aRa$ для любого $a\in A$ ;

— антирефлексивным, если $a\overline R a$ для любого $a\in A;$

— симметричным, если из $aRb$ следует $bRa$ для любых $a\in A,$ $b\in A;$

-антисимметричным, если $a\not= b,$ то из $aRb$ следует $b\overline R$ для любых $a\in A,$ $b\in A;$

— транзитивным, если из $aRb$ и $bRc$ следует $aRc$ для любых $a\in A,$ $b\in A,$ $c\in A;$

[свернуть]

Примеры:

1. Пусть $A = \left\{1, 2, 7\right\},$ $B = \left\{3, 9 \right\}.$

Задаем отношения:

$R_1 = \left\{(1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)\right\} \subset A\times B;$

$R_2 = \left\{(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)\right\}\subset A\times A;$

2. Пусть $R\subseteq \mathbb{R}$ , $R=\left\{(x, y)\,|\, 2x \geq 3y \right\},$ определить его свойства.

Решение:

— Не является рефлексивным, так как, например, $(1,1) \not \in R.$

— Не является антирефлексивным, так как, например, $(-1, -1) \in R.$

— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: $(5, 1) \in R$ , а $(1, 5)\not\in R.$

— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие $(x, y)\in R$ и $(y, x)\in R,$ что $y= x.$

— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:

$x=-1, y=-2, z=1,$ тогда $2x\geq 3y, 2y \geq 3z \Rightarrow 2x\geq 3z$ , но $-2 \leq 3.$

3. Пусть $R \subseteq \mathbb{N}^2,$

$R=\left\{(x, y)|\, x~\vdots~y = 0 \right\}$ ,

определить его свойства.

Решение:

— Является рефлексивным, так как $x~\vdots~x = 0$ .

— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.

— Не является симметричным, так как не обязательно, что $y~\vdots ~x = 0$ , например,

возьмем пару $(10, 2)$ , $10$ делится на $2$ , но $2$ не делится на $10$ .

— Является антисимметричным, так как $x~\vdots~y= 0$ и $y~\vdots~ x =0$ , когда $x= y$ .

— Является транзитивным, так как $~x\vdots ~y = 0, y~\vdots ~z= 0 \Rightarrow x~\vdots~ z =0$ .

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
Федоровский С.В. Конспект лекций по математической логике
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 47-48)
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995

Бинарные отношения на произвольных множествах

Тестовые вопросы по изложенному материалу

Операции на множествах. Свойства операций

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества $A$ и $B ,$ тогда их объединением называется множество $A\cup{} B,$ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

$A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}$

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств $\left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A,$ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$\bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha$ $= \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\}$

Пересечение

Пусть даны два множества $A$ и $B$ , тогда их пересечением называется множество $A\cap{} B$ , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

$A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}$

3.Разность

Пусть даны два множества $A$ и $B$ , тогда их разностью называется множество $A \setminus B$ , содержащее в себе элементы $A$ , но не $B$ :

$A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}$

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества $A$ и $B,$ тогда их симметрической разностью называется множество $A \Delta B$ , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

5.Дополнение

Пусть дано множество $A,$ его дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$\overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\}$