Пусть $latex A \not = \varnothing $, разбиением множества $latex A $ называется не пустое множество подмножеств $latex A_j \in A, j \in J $, такое, что выполняется два условия:
1. $latex \bigcup{} A_j= A, j \in J $.
2. $latex A_i \cap A_j= \varnothing $, для $latex i \not = j $.
Разбиение множества $latex S $ на классы $latex S_1, S_2, …,S_6 $.
Примеры
Приведем несколько примеров разбиения:
1. Множество четырехугольников $latex A $ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex A $.
2. Множество четырехугольников $latex B $ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $latex B $ не получено.
3. Дано множество прямых $latex C $ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex C $.
4. Дано множество $latex N $, которое можно разделить на два класса: $latex N_1 $ и $latex N_2 $, где $latex N_1 $ — множество натуральных четных чисел, а $latex N_2 $ — множество натуральных нечетных чисел.
5. Множество $latex X $ разбито на три класса: $latex X_1 $, $latex X_2 $ и $latex X_3 $. $latex X_1 $ множество чисел, которые делятся на $latex 2 $, $latex X_2 $ — множество чисел, которые делятся на $latex 3 $, $latex X_3 $ множество чисел, которые делятся на $latex 5 $. Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $latex 2 $, $latex 3 $ и $latex 5 $. Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.
Литература:
Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
Пусть заданы множества $latex X $ и $latex Y, $ тогда бинарным отношением $latex R $ из множества $latex X $ в множество $latex Y $ называется подмножество декартова произведения $latex X $ и $latex Y $:
$latex R \subset X \times Y $.
Напомним свойства отношений:
Спойлер
Пусть $latex R\subset A^2. $ Тогда отношение $latex R $ называется:
— рефлесивным, если $latex aRa $ для любого $latex a\in A $;
— антирефлексивным, если $latex a\overline R a $ для любого $latex a\in A; $
— симметричным, если из $latex aRb $ следует $latex bRa $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A; $
-антисимметричным, если $latex a\not= b, $ то из $latex aRb $ следует $latex b\overline R $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A; $
— транзитивным, если из $latex aRb $ и $latex bRc $ следует $latex aRc $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A, $ $latex c\in A; $
[свернуть]
Примеры:
1. Пусть $latex A = \left\{1, 2, 7\right\}, $ $latex B = \left\{3, 9 \right\}. $
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B, $ содержащее в себе все элементы исходных множеств:
$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $
Объединение более чем двух множеств:
Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A, $ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B $, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:
$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $
3.Разность
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B $, содержащее в себе элементы $latex A $, но не $latex B $ :
$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $
4.Симметрическая разность
Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B, $ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B $, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $
5.Дополнение
Пусть дано множество $latex A, $ его дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\} $
Свойства операций
Пусть $latex A, $ $latex B, $ $latex C $ — произвольные множества, тогда:
1. Операция объединение множеств коммутативна:
$latex A \cup B = B \cup A $
2. Операция объединение множеств ассоциативна:
$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $
3. Операция пересечение множеств коммутативна:
$latex A \cap B = B \cap A $
4. Операция пересечения множеств ассоциативна:
$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C) $
6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C) $
7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B) $
8. $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B) $
9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B) $
10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B) $
11. Симметрическая разность коммутативна:
$latex A \Delta B = B \Delta A $
12. Симметрическая разность ассоциативна:
$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C) $
