Автор: Стефания Амамджян

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Пусть $latex A \not = \varnothing$, разбиением множества $latex A$ называется не пустое множество подмножеств $latex A_j \in A, j \in J$, такое, что выполняется два условия:
1. $latex \bigcup{} A_j= A, j \in J$.
2. $latex A_i \cap A_j= \varnothing$, для $latex i \not = j$.

Разбиение множества $latex S$ на классы $latex S_1, S_2, …,S_6$.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников $latex A$ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex A$.

2. Множество четырехугольников $latex B$ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $latex B$ не получено.

3. Дано множество прямых $latex C$ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex C$.

4. Дано множество $latex N$, которое можно разделить на два класса: $latex N_1$ и $latex N_2$, где $latex N_1$ — множество натуральных четных чисел, а $latex N_2$ — множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество $latex X$ разбито на три класса: $latex X_1$, $latex X_2$ и $latex X_3$. $latex X_1$ множество чисел, которые делятся на $latex 2$, $latex X_2$ — множество чисел, которые делятся на  $latex 3$, $latex X_3$ множество чисел, которые делятся на $latex 5$. Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $latex 2$, $latex 3$ и $latex 5$. Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 48-49)
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 (Стр. 15-16)
• Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Вопросы по изложенной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Множество всех углов можно разбить на подмножества прямых, тупых и
2. Задание 2 из 5

   2.

   Какие два условия должны выполниться для разбиения множества на классы?

   • $$\cap A_j = A, j \in J$$ $$A_i \cap A_j = \varnothing, i \not = j$$
   • $$\cup A_j = A, j \in J$$ $$A_i \cap A_j \not = \varnothing, i\not= j$$
   • $$\cup A_j = A, j \in J$$ $$A_i \cap A_j = \varnothing, i\not= j$$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Укажите два подмножества треугольников, которые пересекаются и не могут  образовывать разбиение:

   • разносторонние
   • равнобедренные
   • равносторонние
4. Задание 4 из 5

   4.

   Множество натуральных чисел разбили на два подмножества: числа в одном подмножестве делятся на 3, а в другом на — 9. Произошло ли разбиение?

   • Да
   • Нет
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вставьте пропущенное слово:

   • Разбиением называется не пустое множество, объединяющие в себе (непересекающиеся) классы

Бинарные отношения на произвольных множествах.

Пусть заданы множества $latex X$ и $latex Y,$ тогда бинарным отношением $latex R$ из множества $latex X$ в множество  $latex Y$ называется подмножество декартова произведения $latex X$ и $latex Y$:

$latex R \subset X \times Y$.

Напомним свойства отношений:

Примеры:

1. Пусть $latex A = \left\{1, 2, 7\right\},$ $latex B = \left\{3, 9 \right\}.$

Задаем отношения:

$latex R_1 = \left\{(1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)\right\} \subset A\times B;$

$latex R_2 = \left\{(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)\right\}\subset A\times A;$

2. Пусть $latex R\subseteq \mathbb{R}$, $latex R=\left\{(x, y)\,|\, 2x \geq 3y \right\},$ определить его свойства.

Решение:

— Не является рефлексивным, так как, например, $latex (1,1) \not \in R.$

— Не является антирефлексивным, так как, например, $latex (-1, -1) \in R.$

— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: $latex (5, 1) \in R$, а $latex (1, 5)\not\in R.$

— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие $latex (x, y)\in R$ и $latex (y, x)\in R,$ что $latex y= x.$

— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:

$latex x=-1, y=-2, z=1,$ тогда $latex 2x\geq 3y, 2y \geq 3z \Rightarrow 2x\geq 3z$, но $latex -2 \leq 3.$

3. Пусть $latex R \subseteq \mathbb{N}^2,$

$latex R=\left\{(x, y)|\, x~\vdots~y = 0 \right\}$,

определить его свойства.

Решение:

— Является рефлексивным, так как $latex x~\vdots~x = 0$.

— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.

— Не является симметричным, так как не обязательно, что $latex y~\vdots ~x = 0$, например,

возьмем пару $latex (10, 2)$, $latex 10$ делится на $latex 2$, но $latex 2$ не делится на $latex 10$.

— Является антисимметричным, так как $latex x~\vdots~y= 0$ и $latex y~\vdots~ x =0$, когда $latex x= y$.

— Является транзитивным, так как $latex ~x\vdots ~y = 0, y~\vdots ~z= 0 \Rightarrow x~\vdots~ z =0$.

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• Федоровский С.В. Конспект лекций по математической логике
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 47-48)
• Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995

Бинарные отношения на произвольных множествах

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по изложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Поставьте в соответствие:

   Элементы сортировки

   • $$\forall x\in M(xRx)$$
   • $$\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)$$
   • $$\forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$$
   • $$\forall x, y, z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$$

   • Рефлексивность

   • Симметричность

   • Антисимметричность

   • Транзитивность
2. Задание 2 из 5

   2.

   Дано

   $latex R\subseteq \mathbb {Z}^2, R= \left\{(x, y) | \, y ~\vdots~ (y^2+1) \right\}$,

   является ли данное множество симметричным?

   • Да
   • Нет
3. Задание 3 из 5

   3.

   Дано

   $latex R\subseteq \mathbb {Z}^2, R= \left\{(x, y) | \, y ~\vdots~ (y^2+1) \right\}$,

   является ли данное множество рефлексивным?

   • Да
   • Нет
4. Задание 4 из 5

   4.

   Подмножеством декартова произведения $latex X$ и $latex Y$ называется
5. Задание 5 из 5

   5.

   Пусть $latex X=\left\{1, 2\right\}$, $latex Y= \left\{2, 4, 5\right\}$. Расположить по убыванию по количеству полученных пар множества:

    

   • $$Y\times Y$$
   • $$X\times Y$$
   • $$X\times X$$

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B,$ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}$

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A,$ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$latex \bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha$ $latex = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\}$

Пересечение

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B$, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B$, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}$

3.Разность

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B$, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B$, содержащее в себе элементы $latex A$, но не  $latex B$ :

$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}$

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества $latex A$ и $latex B,$ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

5.Дополнение

Пусть дано множество $latex A,$ его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\}$

 Свойства операций

Пусть $latex A,$ $latex B,$ $latex C$ — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

$latex A \cup B = B \cup A$

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

$latex A \cap B = B \cap A$

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C)$

6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C)$

7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B)$

8.  $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B)$

9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B)$

10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B)$

11. Симметрическая разность коммутативна:

$latex A \Delta B = B \Delta A$

12. Симметрическая разность ассоциативна:

$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C)$

Примеры

1. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\},$ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\},$тогда

$latex A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.$

2. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$, $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\},$ тогда

$latex A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}.$

3. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\},$ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\},$ тогда

$latex A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\},$ $latex B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}.$

4.  Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\},$ $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\},$ тогда

$latex A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}.$

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• В.В.Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, (Стр. 34-37)
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 39-42)

Операции на множествах. Свойства операций.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Поставьте в соответствие:

   Элементы сортировки

   • $$\left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\}$$
   • $$\left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\}$$
   • $$\left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\}$$
   • $$(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

   • Объединение

   • Пересечение

   • Разность

   • Симметрическая разность
2. Задание 2 из 7

   2.

   Укажите ошибочную формулировку:

   • Ассоциативный закон: в каком бы порядке не пересекались множества A, B и C, результат не меняется
   • Коммутативный закон: объединение множеств A и B равно объединению множеств B и A
   • Коммутативный закон: пересечение множеств А и В равно объединению множеств В и А
   • Ассоциативный закон: от изменения порядка объединения множеств А, В и С результат не меняется
3. Задание 3 из 7

   3.

   Пусть $latex A= \left\{1, 2, 3, 6\right\}$, $latex B= \left\{3, 6, 7, 8\right\}$, $latex C= \left\{1, 2, 7, 8\right\}$. Расположить в порядке возрастания по количеству элементов в получившемся множестве:

   • $$A\Delta B \Delta C$$
   • $$A\setminus B$$
   • $$A\cup B$$
4. Задание 4 из 7

   4.

   Вставьте пропущенные слова:

   • Операции объединения, пересечения, а также симметрическая разность являются (коммутативными, ассоциативными) и  (коммутативными, ассоциативными).
5. Задание 5 из 7

   5.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 3, 6, 8, 9 \right\}$, $latex B = \left\{ 3, 4, 8, 9, 12, 13 \right\}$,

   $latex C = \left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\}$, тогда $latex C\setminus ( A \cup B)$ =

   • $$\left\{ 1, 3, 6, 8, 12 \right\}$$
   • $$\left\{ 2, 4, 5, 9 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 5, 6, \right\}$$
6. Задание 6 из 7

   6.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 7, 8, 9 \right\}$,  $latex B = \left\{ 2, 3, 4, 5, 7 \right\}$,

   $latex C = \left\{ 2, 3, 5, 6, 8, 9 \right\}$, тогда $latex ( A\setminus B) \Delta C =$

   • $$\left\{ 1, 2, 3, 5, 6 \right\}$$
   • $$\left\{ 3, 4, 5, 8 \right\}$$
   • $$\left\{ 5, 6, 8, 9 \right\}$$
   • $$\left\{ 1, 2, 4, 7 \right\}$$
7. Задание 7 из 7

   7.

   Пусть дано множество $latex A$, семейство элементов, не принадлежащему данному множеству, называется его