Классификация точек разрыва

Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

$latex=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа $latex=(f(a+0))$

$latex=\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0))$ и$latex=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0))$,

причём $latex=f(a-0)=f(a+0)\neq f(a),$ то точка $latex=a$ называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке $latex=a$ .

Пример

1) $latex=f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$

$latex=sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0$

точка 0-точка устранимого разрыва.

2) $latex=f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1$

$latex=x=0$ точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

$latex=\exists f(a-0)< \infty$

$latex=\exists f(a+0)< \infty$ и $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$, то точка $latex=a$ называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) $latex=f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=f(+0)=1< \infty$

$latex=f(-0)=-1< \infty$

2)$latex=f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

Определение:

Точка $latex=a$ называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0$
$latex=\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty$

точка разрыва второго рода.

"Разрывность функции"

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Точки разрыва монотонной функции

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция $latex f$ определена на отрезке $latex \left[ a,b \right]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности $latex f(x)$ не убывает в промежутке $latex X$. Возьмём любую точку $latex a\in X$, не совпадающую с левым концом $latex X$ , и рассмотрим ту часть $latex X$ , которая лежит влево от $latex a$ . При $latex x\rightarrow a-0, f(x)$ не убывает и ограничена сверху, поскольку $latex f(x)\leq f(a)$ при $latex x< a$.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, что$latex f(a-0)\leq f(a)$.

Если $latex f(a-0)= f(a)$, то $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex a$ слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке$latex a\in X$, несовпадающей с правым концом$latex X,f(x)$ либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел$latex f(a+0)> f(a)$. Ход доказательства для невозрастающей на $latex X$ функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке $latex a$ промежутка $latex X$ монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком $latex f(a+0)- f(a-0)$, либо непрерывна.

"Разрывность функции"

Таблица лучших: "Разрывность функции"

максимум из 32 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Геометрический смысл непрерывности

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции $latex f(x)$. Построим график функции $latex y=f(x)$ и отметим на нём точку $latex a$ и точку $latex f(a)$.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента $latex=x$ незначительное, $latex=x+\delta $ , то и изменение $latex=f(x+\delta)$ будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Определение непрерывности по Коши и по Гейне

Определение:

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})$

Определение(по Коши):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если: $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon$

Определение (по Гейне):

Функция $f(x)$, называется непрерывной в точке $x_{0}$, если для любой последовательности $\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }$, $x_{n}\in X, n\in N$, такого что, $\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}$:

$\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})$

Определение:

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0$ , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция $f(x)$ — непрерывна справа, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ — непрерывна слева, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$ Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_{0}$, если $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) $x_{0}\geq 0$ $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}$ ($\sqrt{x}$- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon$ $|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|= $ $|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| = $ $|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=$ $\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<$ $\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<$ $ \varepsilon$ $0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}$ ($\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})$

Непрерывные функции

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывные функции

максимум из 24 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Критерий Коши существование предела

Огюстен Луи Коши(1789-1857)

Прежде чем ознакомиться с критерием, вспомним, что значит выражение: «Функция удовлетворяет в точке условию Коши».

Определение:

Будем говорить, что функция $latex=f$ удовлетворяет в точке $latex=a$, условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки и $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}’)-f({x}»)|< \varepsilon$ (где $latex=U^{\circ}_{\delta }(a)$ -проколотая $latex=\delta$-окрестсность точки $latex=a$). $latex=0< |x’-a|< \delta$ $latex=0< |x»-a|< \delta$

Теорема(Критерий Коши):

Для того чтобы функция $latex=f(x)$ имела конечное передельное значение в точке $latex=x=a$, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Коши в точке $latex=a$.

Доказательство

Необходимость

Докажем, что $latex=f(x)$ удовлетворяет в точке $latex=x=a$ условию Коши. Пусть $latex=\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}$ $latex=\forall {x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a):$ $latex=|f({x}’)-f({x}»)|=|(f({x}’)-A)+(A-f({x}»))|\leq |f({x}’)-A|+|f({x}»)-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$

Достаточность:

Предположим, что выполняется условие Коши в точке $latex=a$ . Воспользуемся определением предела функции по Гейне: $latex=\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A$. Пусть $latex=\left \{ x_{n}\right \}^{\infty }$ -произведение последовательности $latex=\in U_{\delta }^{\circ}(a)$ и $latex=\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a$ . Докажем, чтo $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1}^{\infty }$ не зависит от выбранного $latex=\left \{ x_{n} \right \}$. Согласно условию Коши мы имеем следующее: $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}’,{x}»\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}’)-f({x}»)|< \varepsilon$ т.к. $latex=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )$ для $latex=\delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $latex=\forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $latex=x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -следует из условия Коши. $latex=\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -$latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$ фундаментальная$latex=\Rightarrow$ по Критерию Коши $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$-сходящаяся. Покажем, что все последующие $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}$ будут сходится к одному и тому же числу А. $latex=\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A$ $latex=x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A$ $latex={x}’_{n}\rightarrow {a}’\sim f({x}’_{n})\rightarrow {A}’$ $latex=x_{1},{x}’_{1},x_{2},{x}’_{2},…\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}’_{1}),f(x_{2}),f({x}’_{2}),…\rightarrow A$ Теорема доказана.

"Критерий Коши существование предела"

В этом тесте предоставлены вопросы по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить этот тест.

Таблица лучших: "Критерий Коши существование предела"

максимум из 24 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение:

Классификация точек разрыва.

Определение:

Пример

Определение:

Примеры

Определение:

Пример

Рекомендации

Учебники :

Сборники задач:

"Разрывность функции"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: "Разрывность функции"

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Рекомендации:

Учебники :

Сборники задач:

"Разрывность функции"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: "Разрывность функции"

Рекомендации:

Учебники :

Сборники задач:

Определение:

Определение(по Коши):

Определение (по Гейне):

Определение:

Определение:

Замечание:

Пример:

Докажем:

Рекомендации:

Учебники :

Сборники задач:

Непрерывные функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

3.

4.

Таблица лучших: Непрерывные функции

Огюстен Луи Коши(1789-1857)

Определение:

Теорема(Критерий Коши):

Доказательство

Необходимость

Достаточность:

Рекомендации:

Учебники :

Сборники задач:

"Критерий Коши существование предела"

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.