Автор: Юлия Стерлянко

Критерий Коши существование границы функции

Определение: Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке

и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

0< |x'-a|< \delta

0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши): Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость:Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a):|f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а.

Воспользуемся определение по Гейне:

\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{\circ}(a) и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon } \forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon } x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon —\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}—сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. \left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A {x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}' x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.

Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций»;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 «Предел функции»;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, Параграф 2 «Понятие предельного значения функции».

Также рекомендую поупражняться по этой теме, в этом вам помогут сборники задач по математическому анализу, вот те которые я бы вам посоветовала:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, Параграф 5 «Предел функции»;
  • Дороговцев А.Я.»Математический анализ» Глава 2, Параграф 3″Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши.

Также вы можете воспользоваться данными ссылками для расширения своих знаний по этой теме:

 

 

 

Критерий Коши существование границы функции

Определение:Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке и $latex \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x’ ,x»\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon $
$latex 0< |x’-a|< \delta $
$latex 0< |x»-a|< \delta $

Теорема(Критерий Коши):  Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость: Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall x',x''\in U_{\delta }^{0}(a):|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)+(A-f(x'')|\leq |f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon

Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а. Воспользуемся определение по Гейне:\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{0}(a) и и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U _{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f({x}'-f{x}'')|< \varepsilon. Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon } :\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{n}}-a|< \delta _{\varepsilon } ,

\forall m\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{m}}-a|< \delta _{\varepsilon } .

x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-это следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon —\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}-сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. 

\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A

x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A

{x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'

x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.Рекомендации: 

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 Критерий Коши существование предела функций;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 Предел функции;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,