Юлия Стерлянко — Страница 2

Определение: Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке

и $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon$

$0< |x'-a|< \delta$

$0< |x''-a|< \delta$

Теорема(Критерий Коши): Конечный предел в точке x=a существует $\Leftrightarrow$ f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость:Пусть предел $\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}$

$\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a):|f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$ Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а.

Воспользуемся определение по Гейне:

$\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A$

Пусть $\left \{ x_{n}\right \}^{\infty }$ -произведение последовательности $\in U_{\delta }^{\circ}(a)$ и $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a$ .

Докажем что $\left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty }$ не зависит от выбранного $\left \{ x_{n}\left. \right \}$ .

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon$

Т.к. $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )$

Для $\delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $\forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon }$ $x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -следует из условия Коши.

$\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ — $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ фундаментальная $\Rightarrow$ по Критерию Коши $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ —сходящаяся.

Покажем что все последующие $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ будут сходится к одному и тому же числу А. $\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A$ $x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A$ ${x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'$ $x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A$

Теорема доказана.

Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций»;
Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 «Предел функции»;
Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, Параграф 2 «Понятие предельного значения функции».

Также рекомендую поупражняться по этой теме, в этом вам помогут сборники задач по математическому анализу, вот те которые я бы вам посоветовала:

Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, Параграф 5 «Предел функции»;
Дороговцев А.Я.»Математический анализ» Глава 2, Параграф 3″Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши.

Также вы можете воспользоваться данными ссылками для расширения своих знаний по этой теме:

http://aakytmanov.professorjournal.ru/c/document_library/get_file?uuid=cfddf2de-771f-46ec-9fe5-16437e9d435e&groupId=44842;

http://matan.isu.ru/matan/lim_and_count.html;

http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj142/file19522/view174111/page3.html;

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2476/КОШИ.

Определение:Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке и $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x’ ,x»\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon$
$0< |x’-a|< \delta$
$0< |x»-a|< \delta$

Доказательство

Необходимость: Пусть предел $\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}$

$\forall x',x''\in U_{\delta }^{0}(a):|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)+(A-f(x'')|\leq |f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$

Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а. Воспользуемся определение по Гейне: $\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A$

Пусть $\left \{ x_{n}\right \}^{\infty }$ -произведение последовательности $\in U_{\delta }^{0}(a) и$ и $\lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a$ .

Докажем что $\left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty }$ не зависит от выбранного $\left \{ x_{n}\left. \right \}$ .

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U _{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f({x}'-f{x}'')|< \varepsilon$ . Т.к. $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )$

Для $\delta _{\varepsilon } :\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{n}}-a|< \delta _{\varepsilon } ,$

$\forall m\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{m}}-a|< \delta _{\varepsilon } .$

$x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon$ -это следует из условия Коши.

Покажем что все последующие $\left \{ f(x_{n}) \right \}$ будут сходится к одному и тому же числу А.

$\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A$

$x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A$

${x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'$

$x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A$

Теорема доказана.Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 Критерий Коши существование предела функций;
Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 Предел функции;
Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,

Автор: Юлия Стерлянко

Определение непрерывности по Коши и по Гейне

Критерий Коши существование границы функции

Критерий Коши существование границы функции