Пусть на множествеG⊂Rnзаданы непрерывно дифференцируемые функции yi=φi,φ(x),i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G.
Функция φm называется зависимой на множестве G от функции φ1,…,φm−1, если существуют множество D в пространстве Rm−1y1,…,ym−1 и непрерывно дифференцируемая на множестве D функция Φ(y1,…,ym−1) такие, что в любой точке x∈G выполняются условия (φ1(x),…,φm−1(x))∈D и Φ(φ1(x),…,φm−1(x))=φm(x).
Определение 2.
Функция системы называется зависимой на множестве G, если хоть одна функция системы yi=φi,i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G зависит от остальных, в противном случае она независима.
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет матрица Якоби этой системы. ∂(y1,…,yn)∂(x1,…,xn),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,
Теорема (необходимое условие зависимости функций)
Пусть система функций yi=φi,i=1,2,…,m,x=(x1,…,xn)∈G зависима на множестве G и m≤n. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше m.
Доказательство
По условию теоремы, функция зависима на множестве G, следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть φm зависит от φm,…,φm−1: φm(x)=Φ(φ1(x),…,φm−1(x)),x∈G,
где Φ-непрерывно дифференцируемая функция от (m−1) аргументов y1,…,ym−1. Следовательно ∂ym∂xj=m−1∑i=1∂Φ∂yi∂yi∂xjдлявсехj=1,2,…,n.
Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке x∈G.
Следствие 1
Пусть функция системы зависима на множестве G и m=n , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества G.
Следствие 2
Пусть m≤n и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.
Пусть A′,B′,C′,D′,E′,F′ — середины сторон AB,BC,CD,DE,EF,FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC′,BCD′,CDE′,DEF′,EFA′,FAB′. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF. рис.1
Решение
Заметим, что SABC′=(SABC+SABD)/2,
поскольку все эти три треугольника имеют общее основание AB (рис.1) высота ΔABC′ равна полусумме высот ΔABC и ΔABD , опущенных на AB. рис.2
Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма S′ площадей треугольника ABC′,BCD′,CDE′,DEF′,EFA′,FAB′ равна сумме (S1+S2)/2, где S1- сумма площадей шести треугольников ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB, отрезаемых малыми диагоналями, а S2 — сумма площадей треугольников ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB полученных «циклическим сдвигом» вершин из △ABS.С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении A→B→C→…) для площади S шестиугольника получим равенство 3S=S1+S2. От сюда S=2S′/3.
Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению
Определение
Градиент можно обозначать через gradφ, но мы будем обозначать через ∇φ . ∇φ=(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)
Предположим, что i, j и k— координатные орты , то ∇φ=i∂φ∂x+j∂φ∂y+k∂φ∂z
Предположим, что вектор l=(cosα,cosβ,cosγ) и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора l с помощью градиента : ∂φ∂l=cosα∂φ∂x+cosβ∂φ∂y+cosγ∂φ∂x=(l,∇φ)
и как мы говорили ранее, что в l-единственный вектор, следовательно мы имеем∂φ∂l=|∇φ|cosδ
(δ — угол образованный вектором l и ∇φ не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке |∇φ|2=(∂φ∂x)2+(∂φ∂y)2+(∂φ∂z)2≠0.
В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда cosφ=1. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .
Использованная литература:
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., 1-ый курс, семестр 2
рис.2
