Автор: Валерия Сиренко

Зависимость функций

Определение 1.

Пусть на множестве [latex]G\subset \mathbb{R}^n[/latex] заданы непрерывно дифференцируемые функции $$y_{i}=\varphi _{i},\varphi(x),\quad i=1,2,…,m,\quad x=(x_{1},…,x_{n})\in G.$$ 

Функция [latex]\varphi _{m}[/latex] называется зависимой на множестве [latex]G[/latex] от функции [latex]\varphi _{1},…,\varphi _{m-1}[/latex], если существуют множество [latex]D[/latex] в пространстве [latex]\mathbb{R}_{y_{1},…,y_{m-1}}^{m-1}[/latex] и непрерывно дифференцируемая на множестве [latex]D[/latex] функция [latex]\Phi (y_{1},…,y_{m-1})[/latex] такие, что в любой точке [latex]x\in G[/latex] выполняются условия [latex](\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))\in D[/latex] и [latex]\Phi (\varphi_{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))=\varphi _{m}(x)[/latex].

Определение 2.

Функция системы называется зависимой на множестве [latex]G[/latex], если хоть одна функция системы [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex] зависит от остальных, в противном случае она независима. 
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет  матрица Якоби этой системы. $$\frac{\partial (y_{1},…,y_{n})}{\partial (x_{1},…,x{n})},\quad i=1,2,…,m;\quad j=1,2,…,n,$$

Теорема (необходимое условие зависимости функций)

Пусть система функций [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex]  зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m\leq n[/latex]. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше [latex]m[/latex].

Доказательство

По условию теоремы, функция зависима на множестве [latex]G[/latex], следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть [latex]\varphi_{m}[/latex] зависит от [latex]\varphi _{m},…,\varphi_{m-1}[/latex]: $$\varphi _{m}(x)=\Phi (\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x)),\quad x\in G,$$ где [latex]\Phi[/latex]-непрерывно дифференцируемая функция от [latex](m-1)[/latex] аргументов [latex]y_{1},…,y_{m-1}[/latex]. Следовательно $$\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{j}}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\partial \Phi }{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\ для\ всех\ j=1,2,…,n. $$ Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке [latex]x\in G[/latex].

Следствие 1

Пусть функция системы зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m=n[/latex] , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества [latex]G[/latex].

Следствие 2

Пусть [latex]m\leq n[/latex] и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.

Используемая литературa

Тесты

Зависимость функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал.

Таблица лучших: Зависимость функции

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

М1579. Нахождение площади шестиугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №3)

Условие

Пусть [latex] A’,B’,C’,D’,E’,F’ [/latex] — середины сторон [latex] AB, BC, CD, DE, EF, FA [/latex] произвольного выпуклого шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex]. Известны площади треугольников [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex]. Найдите площадь шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex].
M1579(1)рис.1

Решение

Заметим, что $$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание [latex] AB [/latex] (рис.1) высота [latex] \Delta ABC’ [/latex] равна полусумме высот [latex] \Delta ABC [/latex] и [latex] \Delta ABD [/latex] , опущенных на [latex] AB [/latex]. M1579(2)рис.2

Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма [latex]S\prime [/latex] площадей треугольника [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex] равна сумме [latex]{ (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2[/latex], где [latex]S_{1}[/latex]- сумма площадей шести треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex], отрезаемых малыми диагоналями, а [latex]S_{2}[/latex] — сумма площадей треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex] полученных «циклическим сдвигом» вершин из [latex]\triangle ABS[/latex].С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении [latex]A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow …[/latex]) для площади [latex]S[/latex] шестиугольника получим равенство [latex]3S=S_{1}+S_{2}[/latex]. От сюда [latex]S=2S\prime /3[/latex].

Н.Васильев 

Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор [latex]l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma )[/latex] и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора [latex]l[/latex] с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в [latex]l[/latex]-единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором [latex]l[/latex] и [latex]\nabla\varphi[/latex] не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных