Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Теорема 1 (Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани)

Для того, чтобы последовательность функций $f_{n}(x)$ , определенных на множестве $E$ , сходилась равномерно к функции $f(x)$ на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid=0\quad (1)$

Необходимость

Пусть $f_{n}\rightrightarrows f$ на $E$ . Покажем, что $\delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$ .
Имеем, что $\forall\varepsilon >0$ существует такой номер $\exists n_{\varepsilon}$ , что $\forall n\geq n_{\varepsilon}$ и $\forall x\in X$ выполняется неравенство:
$\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}$
Тогда $\forall n\geq n_{\varepsilon}$ будем иметь:
$\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ ,
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).

Достаточность

Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций $f_{n}(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$ .

Используя неравенство $\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )$ $\mid\leq\delta_{n}$ для $x\in E$ , $n\in N$ , мы получим, что $\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon$ , для $x\in E$ , $n\geq n_{\varepsilon}$ . А это означает, что $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ , $x\in E$ .

Спойлер

Последовательность функций сходящихся к функции $ln x$

[свернуть]

Теорема 2

(Критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Для того чтобы последовательность функций ${f_{n}(x)}$ сходилась равномерно на множестве $E$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

$\forall\varepsilon >0$ $\exists n_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall P\in N$ $\forall x\in E\Rightarrow\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\varepsilon\quad (2)$

Необходимость

Пусть $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$ , $x\in E$ . Следовательно, согласно определению равномерной сходимости можно утверждать, что:

$\forall\varepsilon>0$ $\exists N_{\varepsilon}:\forall k\geq N_{\varepsilon}$ $\forall x\in E\Rightarrow\left | f_{k}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\varepsilon}{2}\quad(4)$

Пусть теперь $n\geq N_{\varepsilon}$ , $p\in N$ .

Тогда:

$\mid f_{n}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}$ и $\mid f_{n+p}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}$

Теперь, применяя неравенство треугольника, получим что:

$\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid =\mid (f_{n+p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f(x))\mid\leq\mid (f_{n+p}(x)-$

$f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )$ $-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)$

Достаточность

Пусть дано, что выполняется условие Коши. Докажем равномерную сходимость последовательности функций.

Какое бы значение $x$ из $X$ не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции $f\left ( x \right )$ .
Покажем, что последовательность ${f_{n}}$ сходится равномерно к функции $f$
на множестве $X$ . Действительно, в силу условия (2), $\forall\varepsilon>0$ $\quad\exists n_{\varepsilon}$ , что $\forall n\geq n_{\varepsilon}$ , $\forall p\geq 0$ и $\forall x\in X$ справедливо неравенство

$\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)$
Заметив, что $\lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x)$ , перейдем к пределу в неравенстве (3) при $p\rightarrow\infty$ ; тогда $\forall n>n_{\varepsilon}$ и $\forall x\in X$ получим
$\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ ,
а это и означает, что $f_{n}\rightrightarrows f$ .

Источники:

Курс математического анализа. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. 3-е изд., испр. — М.: 2001. — 672 с стр 405-420.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курc 2 Математический анализ
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., 1-ый курс, семестр 2

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Тест для закрепления материала.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 2
Выберите последовательности, равномерно сходящиеся при всех $x$ :
- $f_{n}\left ( x \right )=\frac{\sin x}{n}$
- $f_{n}\left ( x \right )=e^{\frac{x}{\ln x}}$
- $f_{n}\left ( x \right )=e^{\frac{\cos x}{n}}$
- $f_{n}\left ( x \right )=x^{n}$
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Даны два утверждения.
Утверждение 1: Последовательность $\left \{ f_{n}\left ( x \right ) \right \}$ равномерно сходящаяся на множестве $\left \{ x \right \}$ .

Утверждение 2: $\forall\varepsilon$ >0 $\exists N_{\varepsilon}: \forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall p\in N\quad\forall x\in\left \{ x \right \}$ : $\mid f_{n+p}\left ( x \right )-f_{n}\left ( x \right )\mid$ < $\varepsilon$
- утверждение 1 и утверждение 2 эквивалентны
- из утверждения 1 следует утверждение 2
- из утверждения 1 не следует утверждение 2 и наоборот
- из утверждения 2 следует утверждение 1
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Для того, чтобы последовательность функций равномерно сходилась на множестве $E$ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно

Таблица лучших: Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля

Теорема 1

Пусть дан степенной ряд

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad (1)$
радиус сходимости которого $R > 0$ . Тогда для любого $r$ , такого, что
$0 < r < R$ , ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$ .

Доказательство

В каждой точке, лежащей внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится абсолютно. Тогда возьмем вместо $x$ число $r$ , такое что выполняется условие: $0\leq r\leq R$ .
Тогда сходится числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\mid a_{n}\mid r^{n}$ . Поэтому, в силу признака Вейерштрасса, из неравенства $\mid a_{n}x^{n}\mid\leq\mid a_{n}\mid r^{n}\left ( \mid x\mid\leq r \right )$ заключаем, что
ряд (1) сходится равномерно на $\left [ -r,r \right ]$ .

Теорема 2

Сумма степенного ряда (1) с радиусом сходимости
$R > 0$ является непрерывной функцией на интервале сходимости $\left ( -R, R \right )$ .

Доказательство

Согласно предыдущей теореме, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$ $\subset$ $\left ( -R, R \right )$ , однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале $\left ( -R, R \right )$ ряд (1) может сходиться и неравномерно. Пусть $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$ . Выберем такое $r$ , что $x_{0}$ < $r$ < $R$ . Так как $x_{0}$ – внутренняя точка отрезка $\left [ -r,r \right ]$ и на $\left [ -r,r \right ]$ ряд (1) сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, сумма ряда (1) является непрерывной функцией на $\left [ -r,r \right ]$ , включая точку $x_{0}$ .
Поскольку точку $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$ мы взяли произвольную, то сумма ряда (1) непрерывна на интервале $\left ( -R, R \right )$ .

Теорема 3

Если степенной ряд (1) с радиусом сходимости $R$ > $0$
расходится в точке $x = R$ или $x=-R$ , то он не является равномерно сходящимся на $\left ( -R, R \right )$ .

Доказательство

Пусть ряд (1) расходится при $x=R$ . В случае, если
бы ряд (1) на $\left ( -R, R \right )$ сходился равномерно, то, согласно теореме о почленном переходе к пределу, мы получили бы, что сходится ряд из
пределов

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow R-0}a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$ ,
однако это противоречит предположению. Теорема доказана.

Спойлер

Вторая теорема Абеля

Если $R$ – радиус сходимости ряда $\sum\limits{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ и это ряд сходится при $z=R$ , то он сходится равномерно на от отрезке $\left [ 0;R \right ]$ действительной оси.

Доказательство

Пусть $x$ не превышает радиуса сходимости ряда. То есть: $0\leq x\leq R$ . Заменим переменную $x$ на $R$ и получим из ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{n}$ ряд, имеющий вид: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R_{n}\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}$ . Видим, что полученный ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$ не зависит от переменной $x$ , тогда его сходимость означает и равномерную сходимость. Очевидно, что последовательность ${ \left ( \frac{x}{R} \right )^{n}}$ ограничена на отрезке $\left [ 0;R \right ]$ , ее члены неотрицательны: $0\leq\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}\leq 1$ . Эта последовательность убывает в каждой точке (при $x=R\quad$ она не строго убывает, точнее, является стационарной). Значит выполняются условия признака Абеля равномерной сходимости рядов. То есть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ равномерно сходится на отрезке $\left [ 0;R \right ]$ .

Источники:

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974.(стр. 358-360)
Курс математического анализа. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. 3-е изд., испр. — М.: 2001. — 672 с стр 425-440
Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа том 2 стр. 104-106.
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., 1-ый курс, семестр 2

Тест для закрепления материала.

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Определить является ли сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2+6n+8}$ конечным числом.
- Сумма ряда бесконечна
- Сумма ряда является конечным числом
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Даны два ряда:

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3}n!}{n^{4}}$

2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x\left (n+3 \right )^{5}}{n!}$

Выбрать правильный ответ.
- Сумма ряда 1 больше суммы ряда 2
- Сумма ряда 2 больше суммы ряда 1
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Вставить пропущенное слово.
В каждой точке, лежащей внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно

Задание 4 из 4

4.

Количество баллов: 1

Найти соответствие между степенными рядами и их суммами.

Элементы сортировки

$\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}$
$\frac{1}{2}\ln\mid\frac{x+1}{x-1}\mid$
$\frac{1}{(1-x)^{2}}$

$1-3x^{2}+5x^{4}-$ ...

$+(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}+$ ...

$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+$ ...

$+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+$ ...

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$

М1625

М1625.

Условие:

1 Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены поочередно в черный и белый цвета (т.е. в шахматном порядке). Для каждой пары натуральных чисел $m$ и $n$ рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины $m$ и $n$ и проходят по сторонам квадратов. Пусть $S_{1}$ площадь черной части треугольника, a $S_{2}$ — площадь его белой части. Положим $f(m,n)=|S_{1}-S_{2}|$ .
а) Вычислите $f(m, n)$ для всех натуральных чисел $m$ и $n$ , которые либо оба четны, либо оба нечетные.
б) Докажите, что $f$ $\left (m,n \right )$ $\leq\frac{1}{2}$ max $\left \{ m,\right.$ $\left. n\right \}$ для всех $m$ и $n$ .
в) Покажите, что не существует константы $C$ такой, что $f(m,n)<C$ для всех $m$ и $n$ .

Решение:

а) Обозначим рассматриваемый прямоугольный треугольник через $ABC$ и ( $\angle$ A=90°, AB=m, AC=n) достроим его до прямоугольника $ABCD$ . Если числа $m$ и $n$
имеют одинаковую четность, то раскраска этого прямоугольника симметрична относительно середины его диагонали $BC$ . Следовательно,

$S_{1}(ABC)=S_{2}(BCD)$ и
$S_{2}(ABC)=S_{2}(BCD)$ .

Значит, $f(m,n)=|S_{1}(ABC)-S_{2}(ABC)|=|\frac{1}{2}S_{1}(ABCD) — S_{2}(ABCD)|$ .

Поэтому $f(m,n) = 0$ , если $m$ и $n$ оба четны, $f(m,n)=\frac{1}{2}$ , если $m$ и $n$ оба нечетные.
б) Если числа m и n имеют одинаковую четность, то требуемый результат немедленно вытекает из решения пункта а). Пусть теперь m нечетно, а n четно (в противном случае достаточно переобозначить $m$ и $n$ , и наоборот). Рассмотрим на отрезке $AB$ точку $L$ такую, что
$AL=m-1$ . Так как число $m-1$ четно, то

$f(m — 1, n)=0$ ,

т.е. $S_{1}(ALC)=S_{2}(ALC)$ .

Следовательно,
$f(m,n)=|S_{1}(ABC)-S_{2}(ABC)|=S_{1}(LBC)-S_{2}(LBC)|\leq$

Площадь

$LBC=\frac{n}{2}\leq\frac{1}{2}max\left \{ m, n \right \}$ .
в) Вычислим $f(2k + 1, 2k)$ . Как и в решении пункта б), рассмотрим на $AB$ точку $L$ такую, что $AL=2k$ , и получим аналогично, что:

$f(2k +1, 2k)=|S_{1}(LBC) — S_{2}(LBC)|$

Площадь треугольника $LBC$ равна $k$ . Без ограничения общности будем считать, что отрезок $LC$ черный (см. рисунок). Тогда белая часть треугольника $LBC$ состоит из треугольников $BLN_{2k}, M_{2k-1}L_{2k-1}N_{2k-1},…, M_{1}L_{1}N_{1}$ , каждый из которых, очевидно, подобен треугольнику $ABC$ . Их суммарная площадь равна

$S_{2}(LBC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2k}{2k+1}\cdot((\frac{2k}{2k})^2 +(\frac{2k-1}{2k})^2 +…+(\frac{1}{2k})^2)=\frac{1}{4k(2k+1}\cdot(1^2+2^2+…+(2k)^2)=\frac{4k+1}{12}$

Значит,

$S_{1}(LBC)=k-\frac{4k+1}{12}=\frac{8k-1}{12}$ и f $\left \{2k+1.2k \left. \right \} \right.=\frac{2k-1}{6}$

Ясно, что $\frac{2k-1}{6}$ принимает сколь угодно большие значения.

Автор: Вячеслав Зелинский

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Теорема 1 (Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани)

Необходимость

Достаточность

Теорема 2

Необходимость

Достаточность

Источники:

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля

Теорема 1

Доказательство

Теорема 2

Доказательство

Теорема 3

Доказательство

Вторая теорема Абеля

Доказательство

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

М1625

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат