М1625

М1625.

Условие:

1 Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках с целочисленными координатами. Квадраты раскрашены поочередно в черный и белый цвета (т.е. в шахматном порядке). Для каждой пары натуральных чисел [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] и проходят по сторонам квадратов. Пусть [latex]S_{1}[/latex] площадь черной части треугольника, a [latex]S_{2}[/latex] — площадь его белой части. Положим [latex]f(m,n)=|S_{1}-S_{2}|[/latex].
а) Вычислите [latex]f(m, n)[/latex] для всех натуральных чисел [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex], которые либо оба четны, либо оба нечетные.
б) Докажите, что [latex]f[/latex][latex]\left (m,n \right )[/latex][latex]\leq\frac{1}{2}[/latex] max [latex]\left \{ m,\right.[/latex][latex]\left. n\right \}[/latex] для всех [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex].
в) Покажите, что не существует константы [latex]C[/latex] такой, что [latex]f(m,n)<C[/latex] для всех [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex].

Решение:
888

а) Обозначим рассматриваемый прямоугольный треугольник через [latex]ABC[/latex]  и ([latex]\angle[/latex] A=90°, AB=m, AC=n) достроим его до прямоугольника [latex]ABCD[/latex]. Если числа [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex]
имеют одинаковую четность, то раскраска этого прямоугольника симметрична относительно середины его диагонали [latex]BC[/latex]. Следовательно,

[latex]S_{1}(ABC)=S_{2}(BCD)[/latex]  и
[latex]S_{2}(ABC)=S_{2}(BCD)[/latex].

Значит, [latex]f(m,n)=|S_{1}(ABC)-S_{2}(ABC)|=|\frac{1}{2}S_{1}(ABCD) — S_{2}(ABCD)|[/latex].

Поэтому [latex]f(m,n) = 0[/latex], если [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] оба четны, [latex]f(m,n)=\frac{1}{2}[/latex], если [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] оба нечетные.
б) Если числа m и n имеют одинаковую четность, то требуемый результат немедленно вытекает из решения пункта а). Пусть теперь m нечетно, а n четно (в противном случае достаточно переобозначить [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex], и наоборот). Рассмотрим на отрезке [latex]AB[/latex] точку [latex]L[/latex] такую, что
[latex]AL=m-1[/latex]. Так как число [latex]m-1[/latex] четно, то

[latex]f(m — 1, n)=0[/latex],

т.е. [latex]S_{1}(ALC)=S_{2}(ALC)[/latex].

Следовательно,
[latex]f(m,n)=|S_{1}(ABC)-S_{2}(ABC)|=S_{1}(LBC)-S_{2}(LBC)|\leq[/latex]

Площадь

[latex]LBC=\frac{n}{2}\leq\frac{1}{2}max\left \{ m, n \right \}[/latex].
в) Вычислим [latex]f(2k + 1, 2k)[/latex]. Как и в решении пункта б), рассмотрим на [latex]AB[/latex] точку [latex]L[/latex] такую, что [latex]AL=2k[/latex], и получим аналогично, что:

[latex]f(2k +1, 2k)=|S_{1}(LBC) — S_{2}(LBC)|[/latex]

Площадь треугольника [latex]LBC[/latex] равна [latex]k[/latex]. Без ограничения общности будем считать, что отрезок [latex]LC[/latex] черный (см. рисунок). Тогда белая часть треугольника [latex]LBC[/latex] состоит из треугольников [latex]BLN_{2k}, M_{2k-1}L_{2k-1}N_{2k-1},…, M_{1}L_{1}N_{1}[/latex], каждый из которых, очевидно, подобен треугольнику [latex]ABC[/latex]. Их суммарная площадь равна

[latex]S_{2}(LBC)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2k}{2k+1}\cdot((\frac{2k}{2k})^2 +(\frac{2k-1}{2k})^2 +…+(\frac{1}{2k})^2)=\frac{1}{4k(2k+1}\cdot(1^2+2^2+…+(2k)^2)=\frac{4k+1}{12}[/latex]

Значит,

[latex]S_{1}(LBC)=k-\frac{4k+1}{12}=\frac{8k-1}{12}[/latex] и f[latex]\left \{2k+1.2k \left. \right \} \right.=\frac{2k-1}{6}[/latex]

Ясно, что [latex]\frac{2k-1}{6}[/latex] принимает сколь угодно большие значения.

М1625: 1 комментарий

  1. — Нужно уточнить размер рисунка — почти всё поле пустое.
    — Вместо списков обычный текст.
    — Переходы на новую строку расставлены без смысла, где попало.
    — Какая-либо разметка отсутствует.
    — Метки (ключевые слова) отсутствуют.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *