Processing math: 100%

Автор: Анатолий Осецимский

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция f(x) определена в промежутке [a,+∞), т.е. для x≥a, и интегрируема в любой конечной его части [a,A], так что интеграл ∫Aaf(x)dx имеет смысл при любых A≥a.

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при A→+∞ называют интегралом функции f(x) от a до +∞ и обозначают символом ∞∫af(x)dx=limA→+∞A∫af(x)dx(1)

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой в бесконечном промежутке [a,+∞). Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

Спойлер

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от −∞ до b: b∫−∞f(x)dx=limB→−∞b∫Bf(x)dx

Спойлер

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Литература:

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида u1−u2+u3−u4+…+(−1)n−1un+…, где un—это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
u1−u2+u3−u4+…+(−1)n−1un+…(∗)
Выполняются два условия:

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине u1>u2>…>un>…
  • Члены ряда стремятся к нулю limn→∞un=0

то ряд (∗) сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: S2n=(u1−u2)+(u3−u4)+…+(u2n−1−u2n).

По условию u1>u2>…>u2n−1>u2n, следовательно все разности в скобках положительны, значит, S2n увеличивается с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны, если переписать так S2n=u1−[(u2−u3)+(u4−u5)+…+(u2n−2−u2n−1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и  S2n>0, поэтому  S2n<u1для любого  n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  limn→∞S2n=S. При этом  0<S2n≤u1.

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞:limn→∞S2n+1=limn→∞S2n+limn→∞u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел S, поэтому limn→∞Sn=S, следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.


Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами

Задачи из журнала «Квант» (1996 год, выпуск 5)

Условие:

Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Доказать, что у  него ровно 6 прямых двугранных углов.

Доказательство:

Противоположные грани нашего многогранника симметричны относительно центра сферы О и потому параллельны. Все эти грани — треугольники (поскольку многогранник — выпуклая оболочка трех пар диаметрально противоположных точек сферы). Пусть AB — ребро прямого двугранного угла, образуемого плоскостями граней ABC и ABC′. Эти две плоскости, а также параллельные им плоскости A′B′C′ и A′B′C, пересекают сферу по окружностям. Эти четыре окружности пересекаются в восьми точках — вершинах прямоугольного треугольного параллелепипеда(рис. 2). Точки C и C′ должны (так же как и A и A′ B и B′) лежать в некоторых двух противоположных вершинах этого параллелепипеда. Соответственно (быть может, поменяв обозначения точек A и B), мы получаем единственный возможный пример — октаэдр ABCA′B′C′, вершины которого — это шесть вершин прямоугольного треугольного параллелепипеда ABCDD′C′A′B′(рис. 1). У этого октаэдра, очевидно, ровно шесть прямых двугранных углов — при ребрах AB, BC, CA′, A′B′, B′C′, C′A (и шесть — тупых).

Jaja1

Jaja2