Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в промежутке [latex][a,+ \infty),[/latex] т.е. для [latex]x \geq a[/latex], и интегрируема в любой конечной его части [latex][a,A],[/latex] так что интеграл [latex]\int_{a}^{A}f(x)dx[/latex] имеет смысл при любых [latex]A\geq a.[/latex]

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при [latex]A \to +\infty[/latex] называют интегралом функции [latex]f(x)[/latex] от [latex]a[/latex] до [latex]+\infty[/latex] и обозначают символом $$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл [latex](1)[/latex] сходится, а функцию [latex]f(x)[/latex] называют интегрируемой в бесконечном промежутке [latex][a,+ \infty)[/latex]. Если же предел [latex](1)[/latex] бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\sin(x)\mid_{0}^{b}=\lim_{b \to +\infty}(\sin(b)-\sin(0))=$$$$\lim_{b \to +\infty}\sin(b)$$ этого предела не существует, следовательно интеграл расходится.

[свернуть]

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\ln\bigg|\frac{x+3-\sqrt{2}}{x+3+\sqrt{2}}\bigg|\Bigg|_{0}^{b}=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\bigg(\ln\Big|\frac{b+3-\sqrt{2}}{b+3+\sqrt{2}}\Big|-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg[\ln1-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg]=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$$ интеграл сходится.

[свернуть]

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от [latex]-\infty[/latex] до $b:$ $$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$$

Спойлер

$$\int\limits_{-\infty}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}\int\limits_{b}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}e^x\mid_{b}^{0}=e^0-\lim_{b \to -\infty}(e^b)=e^0=1$$ этот интеграл сходится.

Так выглядит данная функция, цветом же выделена область интеграла

jaja3

[свернуть]

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Литература:

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида [latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…,[/latex] где [latex]u_n — [/latex]это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
[latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…(*)[/latex]
Выполняются два условия:

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине [latex]u_{1} > u_2 > …> u_n > …[/latex]
  • Члены ряда стремятся к нулю [latex]\lim_{n \to \infty} u_n = 0[/latex]

то ряд [latex](*)[/latex] сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: [latex]S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+…+(u_{2n-1}-u_{2n})[/latex].

По условию [latex]u_{1} > u_2 > …> u_{2n-1} > u_{2n},[/latex] следовательно все разности в скобках положительны, значит, [latex]S_{2n}[/latex] увеличивается с возрастанием [latex]n[/latex] и [latex]S_{2n}>0[/latex] при любом [latex]n.[/latex]

С другой стороны, если переписать так [latex]S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+…+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].[/latex] Выражение в квадратных скобках положительно и  [latex]S_{2n}>0,[/latex] поэтому  [latex]S_{2n}<u_1[/latex]для любого  [latex]n.[/latex] Таким образом, последовательность частичных сумм [latex]S_{2n}[/latex] ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  [latex]\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.[/latex] При этом  [latex]0<S_{2n}\leq u_1.[/latex]

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем [latex]S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.[/latex] Перейдём в последнем равенстве к пределу при [latex]n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.[/latex] Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел [latex]S,[/latex] поэтому [latex]\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,[/latex] следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.


Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

М1570. Выпуклый многогранник с шестью вершинами

Задачи из журнала «Квант» (1996 год, выпуск 5)

Условие:

Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Доказать, что у  него ровно 6 прямых двугранных углов.

Доказательство:

Противоположные грани нашего многогранника симметричны относительно центра сферы О и потому параллельны. Все эти грани — треугольники (поскольку многогранник — выпуклая оболочка трех пар диаметрально противоположных точек сферы). Пусть [latex]AB[/latex] — ребро прямого двугранного угла, образуемого плоскостями граней [latex]ABC[/latex] и [latex]ABC'[/latex]. Эти две плоскости, а также параллельные им плоскости [latex]A’B’C'[/latex] и [latex]A’B’C[/latex], пересекают сферу по окружностям. Эти четыре окружности пересекаются в восьми точках — вершинах прямоугольного треугольного параллелепипеда(рис. 2). Точки [latex]C[/latex] и [latex]C'[/latex] должны (так же как и [latex]A[/latex] и [latex] A'[/latex] [latex]B[/latex] и [latex] B'[/latex]) лежать в некоторых двух противоположных вершинах этого параллелепипеда. Соответственно (быть может, поменяв обозначения точек [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]), мы получаем единственный возможный пример — октаэдр [latex]ABCA’B’C'[/latex], вершины которого — это шесть вершин прямоугольного треугольного параллелепипеда [latex]ABCDD’C’A’B'[/latex](рис. 1). У этого октаэдра, очевидно, ровно шесть прямых двугранных углов — при ребрах [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex], [latex]CA'[/latex], [latex]A’B'[/latex], [latex]B’C'[/latex], [latex]C’A[/latex] (и шесть — тупых).

Jaja1

Jaja2