Обозначим $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$. По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция $\varphi$ непрерывна на $\left[a;b\right]$. Положим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt$. Применим на отрезке с концами $x_{0}$ и $x$теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности $\left \{ f’_{n}(t) \right \}$. Тогда получим
$g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})$. Тогда из равенства $g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ следует, что существует и $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$, т.е. мы показали, что последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ сходится на $\left[a;b\right]$. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ и получим, что $g(x)=f(x)-f(x_{0})$, а так как функция $g$ дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции $\varphi$) и $g'(x)=\varphi (x)$(в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция $f$ также дифференцируема и $f'(x)=\varphi (x)$, т.е. функция $f$ имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$. Осталось показать, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f$ равномерно на $\left[a;b\right]$. Имеем
$\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |$.
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших $n$, а первое оцениваем так:
$\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt$.
Теперь остается учесть, что последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится к функции $\varphi$ равномерно на $\left[a;b\right]$, и тем самым завершается доказательство теоремы.

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$.

Зададим $\varepsilon > 0$. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности $\left \{ f’_{n} \right \}$, существует такой номер $N$, что для всех $n, m\geq N$ и для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим $\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)$. Тогда $\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon$ и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$. Далее, для $n,m\geq N$ имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon$$
Устремим $n\rightarrow \infty$ и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем $m\geq N$ и найдем такое $\delta >0$, что для всех $h$, удовлетворяющих условию $0< \left | h \right |< \delta$, справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon$$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве $\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon$ ($n, m\geq N$) перейдем к пределу при $n\rightarrow \infty$ (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$. Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N$ и $\forall x\in \left [ a, b \right ]$ справедливо неравенство $\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех $n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon$
Теорема доказана.

Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что $\int_{a}^{b}f(x)dx$ существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на $\left[a;b\right]$ функции $f$. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod$ — разбиения отрезка $\left[a;b\right]$, диаметр которого $d\left ( \prod \right )< \delta$, справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где $\omega _{i}(f)$ — колебания функции $f$ частичных отрезках $\left[x_{i};x_{i+1}\right]$. Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности $\left \{ f_{n} \right \}$, найдем такое N, что $\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ]$ справедливо неравенство $\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon$. Если $\forall n\geq N$, то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении $\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon$, так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости $f_{n}$, т.е. $\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta$, первое слагаемое справа будет меньшим, чем $\varepsilon$. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$.