Обозначим [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция [latex]\varphi[/latex] непрерывна на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Положим [latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt[/latex]. Применим на отрезке с концами [latex]x_{0}[/latex] и [latex]x[/latex]теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности [latex]\left \{ f’_{n}(t) \right \}[/latex]. Тогда получим
[latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex]
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})[/latex]. Тогда из равенства [latex]g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex] следует, что существует и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex], т.е. мы показали, что последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex] и получим, что [latex]g(x)=f(x)-f(x_{0})[/latex], а так как функция [latex]g[/latex] дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции [latex]\varphi[/latex]) и [latex]g'(x)=\varphi (x)[/latex](в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция [latex]f[/latex] также дифференцируема и [latex]f'(x)=\varphi (x)[/latex], т.е. функция [latex]f[/latex] имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Осталось показать, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Имеем
[latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |[/latex].
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших [latex]n[/latex], а первое оцениваем так:
[latex]\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt[/latex].
Теперь остается учесть, что последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]\varphi[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex], и тем самым завершается доказательство теоремы.

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex].

Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex]. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex], существует такой номер [latex]N[/latex], что для всех [latex]n, m\geq N[/latex] и для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим [latex]\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)[/latex]. Тогда [latex]\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon[/latex] и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex]. Далее, для [latex]n,m\geq N[/latex] имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим [latex]n\rightarrow \infty [/latex] и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем [latex]m\geq N[/latex] и найдем такое [latex]\delta >0[/latex], что для всех [latex]h[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0< \left | h \right |< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве [latex]\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon [/latex] ([latex]n, m\geq N[/latex]) перейдем к пределу при [latex]n\rightarrow \infty [/latex] (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)[/latex]. Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N[/latex] и [latex]\forall x\in \left [ a, b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}[/latex]. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех [latex]n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon [/latex]
Теорема доказана.

Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что [latex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на [latex]\left[a;b\right][/latex] функции [latex]f[/latex]. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] тогда и только тогда, когда [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod[/latex] — разбиения отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex], диаметр которого [latex]d\left ( \prod \right )< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где [latex]\omega _{i}(f)[/latex] — колебания функции [latex]f[/latex] частичных отрезках [latex]\left[x_{i};x_{i+1}\right][/latex]. Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex] и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], найдем такое N, что [latex]\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon [/latex]. Если [latex]\forall n\geq N[/latex], то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении [latex]\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon [/latex], так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости [latex]f_{n}[/latex], т.е. [latex]\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta [/latex], первое слагаемое справа будет меньшим, чем [latex]\varepsilon [/latex]. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex].