Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

Спойлер

Обозначим \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция \varphi непрерывна на \left[a;b\right]. Положим g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt. Применим на отрезке с концами x_{0} и xтеорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности \left \{ f'_{n}(t) \right \}. Тогда получим
g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0}). Тогда из равенства g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})) следует, что существует и \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x), т.е. мы показали, что последовательность \left \{ f_{n}(x) \right \} сходится на \left[a;b\right]. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x) и получим, что g(x)=f(x)-f(x_{0}), а так как функция g дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции \varphi) и g'(x)=\varphi (x)(в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция f также дифференцируема и f'(x)=\varphi (x), т.е. функция f имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Осталось показать, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} сходится к функции f равномерно на \left[a;b\right]. Имеем
\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |.
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших n, а первое оцениваем так:
\left | \int_{x_{0}}^{x}f'_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f'_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f'_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt.
Теперь остается учесть, что последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится к функции \varphi равномерно на \left[a;b\right], и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x).

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

Спойлер

Зададим \varepsilon > 0. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности \left \{ f'_{n} \right \}, существует такой номер N, что для всех n, m\geq N и для любого x\in \left[a;b\right] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим \varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x). Тогда \left | \varphi {}'_{n,m}(x) \right |< \varepsilon и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность \left \{ f_{n} \right \} удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x). Далее, для n,m\geq N имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим n\rightarrow \infty и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем m\geq N и найдем такое \delta >0, что для всех h, удовлетворяющих условию 0< \left | h \right |< \delta , справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве \left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon (n, m\geq N) перейдем к пределу при n\rightarrow \infty (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено \varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x). Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

[свернуть]

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть f_{n} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, поточечно сходящаяся к функции f. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке \left[a;b\right] предельной функции f и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть \left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } — последовательность всех рациональных точек из отрезка \left[0;1\right]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция f_{n} интегрируема на отрезке \left[0;1\right], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва \left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке \left[0;1\right].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой.
Действительно, положим u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x), u_{1}(x)=f_{1}(x), u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x).
Частичные суммы ряда s_{n}(x)=f_{n}(x). И \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x).

[свернуть]

Пример 2

Положим f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n, а на отрезках \left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right] функция f_{n} — линейна. Мы видим, что \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right], так что предельная функция f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right]) интегрируема и \int_{0}^{1}f(x)dx=0. С другой стороны, очевидно, что \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}, поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Пример 2 позволяет построить ряд из интегрируемых функций такой, что предельная функция интегрирума, но равенство не выполняется.

[свернуть]

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность  \left \{ f_{n}(x) \right \} из непрерывных на отрезке \left[a;b\right ] функций, равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

Спойлер

По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: \forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N и \forall x\in \left [ a, b \right ] справедливо неравенство \left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx - \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon
Теорема доказана.

[свернуть]

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть \left \{ u_{n} \right \} — последовательность непрерывных на отрезке \left[a;b\right] функций такова, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

Спойлер

Действительно, функции f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x) непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций u_{k}, и последовательность \left \{ f_{n} \right \} сходится к функции f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно на \left[a;b\right]. Тогда, по предыдущей теореме, $$\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$$

[свернуть]
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть \left\{f_{n}\right\} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции f. Тогда предельная функция f интегрируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

Спойлер

Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что \int_{a}^{b}f(x)dx существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на \left[a;b\right] функции f. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция f интегрируема на \left[a;b\right] тогда и только тогда, когда \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod — разбиения отрезка \left[a;b\right], диаметр которого d\left ( \prod \right )< \delta , справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где \omega _{i}(f) — колебания функции f частичных отрезках \left[x_{i};x_{i+1}\right]. Зададим \varepsilon > 0 и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности \left \{ f_{n} \right \}, найдем такое N, что \forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ] справедливо неравенство \left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon . Если \forall n\geq N, то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении \omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon , так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости f_{n}, т.е. \exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta , первое слагаемое справа будет меньшим, чем \varepsilon . Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция f интегрируема на \left[a;b\right].
1

[свернуть]

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

M1443. О периодичности некоторой бесконечной последовательности

Задача из журнала «Квант» (1994, №4)

Условие

Бесконечная последовательность чисел x_{n} определяется условиями:x_{n+1}=1-\left | 1-2x_{n} \right |, причем 0\leq x_{1}\leq 1.

  1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, если x_{1} рационально.
  2. Сколько существует значений x_{1}, для которых эта последовательность — периодическая с периодом T ( для каждого T = 2, 3 \cdots )?

Решение

Положим f(x)=1-\left | 1-2x \right |, f_{n}(x)=\overset{n}{\overbrace{f((\cdots(f}}(x))\cdots)).

Пусть x_{1} — рациональное число (несократимая дробь вида p/q, где q=2^{m}(2r-1), m и r целые, m\geq 0). Тогда f(x_{1}) — тоже рациональное, причем его знаменатель не больше, чем у x_{1} (точнее, он тот же, если m=0, и вдвое меньше, если m>0), причем если 0\leq x_{1}<1, то 0\leq f(x_{1})\leq 1. Точно так же, числа f_{n}(x_{1}) будут рациональными, со знаменателем не больше, чем у x_{1}, и лежащими на отрезке \left [ 0,1 \right ]. Но таких чисел конечное число, и значит, среди них встретятся одинаковые:

f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1}) при некоторых n и T, так что последовательность f_{n}(x_{1}), начиная с некоторого n, — периодическая.

Докажем обратное утверждение. Заметим, что функция y=f(x) на  каждом из отрезков \left[0;\frac{1}{2}\right] и \left[\frac{1}{2};1\right] — линейная:
y=2x при 0\leq x\leq \frac{1}{2}, y=2-2x при \frac{1}{2}\leq x\leq 1.

Точно так же, функции y=f_{n}(x) на каждом из отрезков \left[\frac{k}{2^{n}};\frac{k+1}{2^{n}}\right] — линейная (причем f_{n}(x)=a_{n}x+b_{n}, где a_{n}, b_{n} — целые, a_{n}=\pm 2^{n}); графики функций y=f(x), y=f_{2}(x), y=f_{3}(x) показаны на рисунке:

1picture

Поэтому если точка x порождает «периодическую траекторию»: f_{T}(x)=x при некотором T\geq 1, то x —  корень уравнения x=a_{T}x+b_{T}, т.е. число рациональное. Остается еще заметить, что любое y, 0\leq y< 1, имеет 2^{n} «прообразов» при отображении x\rightarrow f_{n}(x), т.е. уравнение f_{n}(x)=y имеет 2^{n} решений, причем если y — рациональное, то и все эти решения рациональные. Поэтому если y=f_{n}(x_{1})=f_{n+T}(x_{1}) для некоторого x_{1} (т.е. y порождает периодическую траекторию), то и y, и x_{1} — рациональны.

Тем самым, оба утверждения первого пункта доказаны. Что касается второго пункта, как он поставлен в условии задачи, — ответ на него очень прост: таких точек бесконечно много для каждого T. В самом деле, существует (для каждого T=2,3,\cdots) по крайней мере одна точка периода ровно T : это, в частности, «последняя» точка пересечения отрезка x=y, 0\leq x< 1, с графиком y=f_{n}(x): x_{T}=2^{T}/(2^{T}+1). (Ясно, что при k<T все решения уравнения x=f_{k}(x) меньше x_{T}.) Тогда, взяв в роли x_{1}, любой из 2^{n} прообразов x_{T} при отображении x\rightarrow f_{n}(x) (лишь один из них входит в «периодическую траекторию» порождаемую x_{T}), мы получим последовательность, которая, начиная с некоторого места, — периодическая с периодом T.

Более интересный вопрос: сколько существует периодических траекторий каждого периода T ( или, что почти тоже самое, — точек x, для которых x=f_{T}(x) и при этом x\neq f_{k}(x) при k<T )? Мы предлагаем читателям подумать над этим и постараемся вернуться к этой теме, получив ваши ответы.
Н.Васильев