M1800. О квадратах площадей граней тетраэдра

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 3 выпуск)

Условие

Докажите, что сумма квадратов площадей граней любого тетраэдра равна учетверенной сумме квадратов площадей трех его сечений, каждое из которых проходит через середины четырех ребер.

Решение

Сначала докажем следующее утверждение.

Теорема косинусов для тетраэдра. Пусть $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ — площади граней тетраэдра, $\alpha_{ij}$ – двугранный угол между гранями с площадями $S_i$ и $S_j$. Тогда $$S^2_0=S^2_1+S^2_2+S^2_3-2S_1S_2\alpha_{12}-2S_1S_3\alpha_{13}-2S_2S_3\alpha_{23}.$$

Так как площадь любой грани тетраэдра равна сумме площадей проекцией на нее остальных граней, имеем$$S_0=S_1\cos\alpha_{01}+S_2\cos\alpha_{02}+S_3\cos\alpha_{03},$$$$S_1=S_0\cos\alpha_{01}+S_2\cos\alpha_{12}+S_3\cos\alpha_{13},$$$$S_2=S_0\cos\alpha_{02}+S_1\cos\alpha_{12}+S_3\cos\alpha_{23},$$$$S_3=S_0\cos\alpha_{03}+S_1\cos\alpha_{13}+S_2\cos\alpha_{23}.$$Умножив второе равенство на $S_1$, третье на $S_2$, четвертое на $S_3$ и вычтя из их суммы первое, умноженное на $S_0$ получим утверждение теоремы.

Рис.1
Рис.1

Теперь четырьмя плоскостями, параллельными граням тетраэдра и проходящими через середины его ребер, отрежем от него четыре вдвое меньших тетраэдра. Получим многогранник, ограниченный $8$ треугольниками. Серединные сечения исходного тетраэдра разбивают этот многогранник на $8$ тетраэдров, основания которых равны уменьшенным вдвое граням исходного, а боковые грани – четвертям его серединных сечений (рис. $1$). Если применить к каждому из них теорему косинусов и сложить полученные равенства, то каждое из удвоенных произведений войдет в сумму с противоположными знаками, и в результате будет получено утверждение задачи.

А.Заславский