Теорема 1

Пусть функции $\varphi _{1},…,\varphi _{n}$ определены в некоторой окрестности точки $x_{0}\in R^{m}$ и непрерывны в точке $x_{0}$, а функция $f(y)=f(y_{1},…,y_{n})$определена в окрестности точки $y_{0}=(\varphi _{1}(x_{0}),…,\varphi _{n}(x_{0}))$ и непрерывна в точке $y_{0}$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ определена сложная функция. $\Phi (x)=f \big( \varphi _{1}(x),…,\varphi _{n}(x) \big) $ причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$.
Воспользуемся доказательством в случае одной переменной.

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция $\varphi (t) $ непрерывна в точке $t_{0}$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}=\varphi(t_{0})$. Тогда функция $f(\varphi(t))$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
$f(x)$ непрерывна в $x_{0}$ $\forall \varepsilon > 0 \;, \quad \exists \delta \; \quad \forall x \quad \left | x-x_{0} \right |< \delta $  $\left | f(x)-f(x_{0}) \right | <\varepsilon $ $ \quad \psi (e)$ непрерывна в $t_{0}$ $\forall \delta >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad $ $\left | t-t_{0} \right | < \eta \; \quad \left | \varphi (t)-\varphi(t_{0}) \right | < \delta$ Выписывая  кванторы, получим, что:
$$\forall \varepsilon >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad \left | t-t_{0}\right | < \eta \quad \left | f\Big( \varphi (t) \Big)-f\Big((\varphi t_{0})\Big) \right | < \varepsilon $$ что и говорит о том, что $f\big(\varphi (t)\big)$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Источники:

1. Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 237-238
2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Повторные предельные значения. Для функции [latex] u=f(x_{1},x_{2},…,x_{n})[/latex] нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных [latex] x=x_{k} [/latex]  при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции [latex] u=f(x,y)[/latex] двух переменных x и у. Пусть функция  [latex] u=f(x,y)[/latex] задана в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] , за исключением, быть может, самой точки [latex] M_{0} [/latex] . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex] существует предельное значение функции [latex] u=f(x,y)[/latex] одной переменной [latex]x[/latex] в точке [latex] x=x_{0} [/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y) [/latex] 

и пусть, кроме того, существует предельное значение [latex]b[/latex] функции  [latex] \varphi [/latex](y) в точке [latex] y=y_{0} [/latex]:

[latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b[/latex]

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение [latex]b[/latex] для функции  [latex] u=f(x,y)[/latex] в точке  [latex] M_{0} [/latex], которое обозначается следующим образом:

[latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b[/latex]

Теорема:

Пусть функция [latex] u=f(x,y)[/latex] определена в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] и имеет в этой точке предельное значение [latex]b[/latex]. Пусть, кроме того, для любого фиксированного [latex]x[/latex], [latex] 0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}[/latex], существует предельное значение [latex] \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y)[/latex] и для любого фиксированного y, [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex], существует предельное значение  [latex]\phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} [/latex]. Тогда повторные предельные значения [latex] \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} [/latex] и [latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)[/latex] существуют и равны [latex]b[/latex].

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций [latex]f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}[/latex]

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.459-462)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Определение

Пусть задана функция нескольких переменных [latex]A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/latex] и a —предельная точка множества [latex]A[/latex]. Если для любого числа [latex]M>0[/latex] существует такое число [latex]\delta [/latex], что при [latex]x\in A\cap U(a,\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M)[/latex], то говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] стремится к + [latex]\infty[/latex] при, [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex] и пишут:
[latex]\lim\limits_{x\to a}=+\infty[/latex] [latex](\lim\limits_{x\to a}=-\infty[/latex] или [latex]\lim\limits_{x\to a} =\infty )[/latex]
Во всех трех случаях функцию [latex]f(x)[/latex] называют бесконечно большой при [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex].

Пример

Функция [latex]f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}[/latex] является бесконечно большой при [latex](x, y) \rightarrow (0, 0)[/latex] Функция [latex]g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}[/latex] стремится к [latex]\infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в правой полуплоскости [latex]x > 0[/latex]. В самом деле, в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Функция [latex]g(x, y)[/latex] стремится к [latex]- \infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Если [latex]A = {(x, y):x = 0, y \in R}[/latex]— ось ординат, то [latex]g(x, y) = 0[/latex] на [latex]A[/latex] и функция [latex]g(x, y)[/latex] является бесконечно малой при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex].

Литература:

• З.М. Лысенко Конспект лекций
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по матанализу т.1(стр. 53-55).

Теорема 1

Пусть даны функции $f,g$ :$E \mapsto R^{m} $, $E \subset \mathbb{R}^n $. Если $ f, g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке непрерывны и функций $ f+g$ , $ f\cdot g$. Если $f,g$ — действительные функций и $ g(x)\neq 0$ на $E$, то $\Large \frac{f}{g}$ непрерывна в точке $ x_{0}.$

Доказательство:
Действительно, если $ x_{0}$ — изолированная точка в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $ x_{0}$ — предельная точка множества  $ E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применять соответствующую теорему о арифметических свойствах пределов функций.

Теорема 2 (формулировка)

Пусть $ f $ : $E \rightarrow \mathbb{R}^m$ и $ g $: $N \rightarrow {R}^k$,  $N \subset \mathbb{R}^m $, причем $f(E) \subset N$. Если  $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ $\in E$ , в функция $g$ непрерывна в точке $y_{0}= f(x_{0})$ $\in N$, то композиция $h= (g \circ f)$ непрерывна в точке $x_{0} $.

Пример

Пусть $f(x)=$ $\left | x \right |$.
Тогда из неравенства:
$\left | f(x)-f(x_0) \right |=\left | \left | x \right |- \left | x_{0} \right |\right | \leq \left | x-x_{0} \right |$ сразу следует непрерывность функций $f$.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

• Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$.
•  Если $f(x_{0}) \neq 0$, то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
  ( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$.
•  Если функция $g: U_{E} (x_{0})$ $ \rightarrow R$ также непрерывна в точке $x_{0}$, то следующие функции непрерывны в точке $x_{0}$:
  • $f+g$
  • $f \cdot g $
  • $\Large \frac{f}{g}$

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$, а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$, $f(x_{0})=y_{0}$, $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке  $x_{0}$, то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$.

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$.

Источники:

1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно