Метка: бесконечно малые

Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [latex][\frac{0}{0}][/latex]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы[latex]x\rightarrow 0[/latex]  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу [latex]x\rightarrow 0[/latex], для простоты записи  будем писать знак [latex]\sim[/latex] вместо [latex]_{x\rightarrow 0}^{\sim}\textrm{}[/latex].

[latex]sinx \sim x [/latex] [latex]e^{x}-1\sim x [/latex]
[latex]tgx\sim x[/latex] [latex]a^{x}-1\sim xlna[/latex]
[latex]arcsinx\sim x[/latex] [latex]ln(1+x)\sim x[/latex]
[latex]arctgx\sim x[/latex] [latex](1+x)^{\alpha }-1\sim \alpha x[/latex]
[latex]shx\sim x[/latex] [latex]1-cosx\sim \frac{x^{2}}{2}[/latex]

Докажем некоторые утверждения:

1)    [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{x}{arcsinx}}=[/latex][latex]lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{siny}{y}} =1[/latex]

2)  [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{\frac{x}{cosx}}[/latex][latex]=\frac{lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}{lim_{x\rightarrow 0}cosx}=[/latex][latex]\frac{1}{1}=1[/latex]

3)  [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}/2}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}/2}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2(\frac{x}{2})^{2}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=[/latex][latex]1\cdot 1=1[/latex]

4) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{log_{a}(1+x)}{\frac{x}{lna}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{1}{x}log_{a}(1+x)=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot log_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{lna}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]ln\; lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]ln\; e=1[/latex]

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если [latex]\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})[/latex]в которой определены [latex]f,g[/latex]  и [latex]h:f(x)=g(x)h(x)[/latex],
причём [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f[/latex] и [latex]g[/latex]- эквивалентные при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] и пишут [latex]f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g[/latex]
[latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1[/latex]
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex]

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  [latex]\alpha[/latex]  и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было [latex]lim\frac{\beta }{\alpha }=1[/latex]
Положив  [latex]\beta-\alpha =\gamma[/latex], будем иметь  [latex]\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }[/latex]
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex]  , то есть[latex]\gamma[/latex] есть бесконечно малая высшего порядка, чем  [latex]\alpha[/latex] и  [latex]\beta \sim \alpha[/latex] . Обратно, если дано, что [latex]\beta \sim \alpha[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex] , а тогда  [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex].
С помощью этого критерия, например, видно, что при [latex]x\rightarrow 0[/latex] бесконечно малая  [latex]sin\: x[/latex]  эквивалентна [latex]x[/latex], а [latex]\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x[/latex].
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [latex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/latex] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  [latex]\frac{\beta }{\alpha }[/latex]. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если[latex]f\sim f_{1}[/latex] , а [latex]g\sim g_{1}[/latex] , при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] , то если [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}[/latex] , то  [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=[/latex][latex]\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}[/latex][latex]\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=[/latex][latex]\frac{1}{4}[/latex]

2) [latex]lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=[/latex][latex]\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}[/latex][latex]=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}1=1[/latex]

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»