Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть [latex]R[/latex]- произвольное множество, [latex]R\ne0[/latex],  [latex]»+»[/latex],  [latex]»\cdot»[/latex]- бинарные алгебраические операции  на [latex]R[/latex].
[latex](R,+,\cdot)[/latex] называется кольцом, если выполнено:

  1. [latex](R,+)[/latex]- абелева группа (аддитивная группа кольца);
  2. Для любых [latex](R,+,\cdot) \in R[/latex] выполняется:
    1. [latex]a(b + c) = ab + ac[/latex];
    2. [latex](b + c)a = ba + ca[/latex].

Если операция [latex]»\cdot»[/latex] коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
[latex]\forall a,b,c \in R[/latex]

  1. Коммутативна: [latex]a + b = b + a[/latex];
  2. Ассоциативна: [latex]a + (b + c) = (a + b) + c[/latex].

Операция умножения:
[latex]\forall a,b,c \in R[/latex]

  1. Коммутативна: [latex]ab = ba[/latex];
  2. Ассоциативна: [latex]a(bc) = (ab)c[/latex].

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
[latex](a + b)c = ac + ab[/latex].

Примеры:

  1. [latex](Z,+,\cdot)[/latex]- кольцо целых чисел;
  2. [latex](Q,+,\cdot)[/latex]- кольцо рациональных чисел;
  3. [latex](R,+,\cdot)[/latex]- кольцо вещественных чисел;
  4. [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}[/latex].

Проверим, будет ли на множестве [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot)[/latex] кольцо.
[latex](a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}][/latex]
Значит [latex](Q[\sqrt{2}], +, \cdot)[/latex] является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

  1. [latex]\forall a \in R [/latex] [latex] a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,[/latex] [latex]a\cdot0 = a(0 + 0) =[/latex] [latex] a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =[/latex] [latex] a\cdot0 + ( — a\cdot0) =[/latex] [latex] (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =[/latex] [latex] a\cdot0 = 0[/latex]
  2.  

  3. [latex]\forall a,b \in R (-a)b = -ab[/latex] [latex](-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0[/latex]
  4.  

  5. [latex]d(a — b) = da — db[/latex] [latex]d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db[/latex]
  6.  

  7. [latex](a — b)d = ad — bd[/latex] [latex](a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc[/latex]
  8.  

  9. Если имеет единичный элемент 1, то [latex]\forall a \in R[/latex] [latex]a \cdot 1 = 1 \cdot a = a[/latex].

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Литература: