Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальным биномом называют выражение вида

[latex] x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx, [/latex]

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида [latex] R (x,\sqrt[r]{x}) dx [/latex], где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой [latex] t=\sqrt[r]{x} [/latex].
2.Второму случаю соответствует целое число [latex] \frac{m+1}{n} [/latex]. Сделаем подстановку
[latex] z = x^{n} [/latex] и положим для краткости [latex] \frac{m+1}{n}-1=q [/latex], получим

[latex] \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz [/latex]

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида [latex] R (z,\sqrt[s]{a+bz}) [/latex], где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

[latex] t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}. [/latex]

3. Третьему случаю соответствует целому число [latex] (\frac{m+1}{n}+p) [/latex]. Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида [latex] R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) [/latex], так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

[latex] t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}. [/latex]

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} [/latex]. Здесь [latex] m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 [/latex]. Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

[latex] x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2} [/latex]

подставим:

[latex] I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = [/latex][latex]6 \int (t^{4} — 2t^{2} + 3 — \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = [/latex][latex]\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} — 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} — 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C [/latex]

2) Вычислить интеграл [latex] I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx[/latex]. Здесь [latex] m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}[/latex]. Так как [latex]\frac{m+1}{n} = 3[/latex] — целое (второй случай).

[latex]t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},[/latex] [latex]x = (t^{2} — 1)^{\frac{8}{2}},[/latex] [latex]dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt[/latex]

подставим:

[latex] I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = [/latex][latex]\frac{3}{5}t^{6} — 2t^{3} + 3t + C[/latex],

[latex]t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}[/latex]

3) Вычислить интеграл [latex] I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Графиком подынтегральной функции будет:

В данном случае [latex] m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}=3 [/latex] (второй случай). Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{1-x^{2}},[/latex] [latex]x=\sqrt{1-t^{2}},[/latex] [latex]dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}}, [/latex]

будем иметь

[latex] -\int (1-t^{2})^{2} dt=[/latex][latex]-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=[/latex][latex]-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=[/latex][latex]-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C. [/latex]

4) Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Здесь [latex] m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}+p=-1 [/latex] (третий случай) Сделав подстановку

[latex] t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b},[/latex] [latex]x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}},[/latex] [latex]dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }}, [/latex]

будем иметь

[latex] I=\int — (\frac{dt}{a}) = [/latex][latex]-\frac{t}{a}+C=[/latex][latex]-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C. [/latex]

Литература

В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифферециального бинома

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5
Выражение вида $x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$ называется
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 5

Выбрать соответствующие рационализирующие подстановки

Элементы сортировки

$t=\sqrt[r]{x}$
$z = x^{n}$
$t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}$

целое p

целое

$\frac{m+1}{n}$

целое

$(\frac{m+1}{n}+p)$

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 5
Какую из следующих рационализирующих подстановок следует выбрать для интеграла $latex \int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^{2}(1+\sqrt[3]{x^{2}})}}=\int x^{-\frac{2}{3}}(1+x^{\frac{2}{3}})^{-1}dx$
- $x=t^{\frac{3}{2}},dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt$
- $x=t^{\frac{1}{2}},dx=\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}dt$
- $x=t^{\frac{2}{3}},dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt$
- $x=\sqrt[3]{1-t^{2}},dx=-\frac{tdt}{3\sqrt[3]{(1-t^{2})^{2}}}$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

максимум из 15 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$

Если $\normalsize m<n$ , то:

$\small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$ $+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$ $+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$\frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r \epsilon \mathbb{N} и \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k \epsilon \mathbb{N}$

$r=1: \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$

$r\neq1: \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$ , $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$ $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$ $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$ $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Спойлер

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

$\large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}.$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\large A(x+3)+B(x-3)=2x+3$

$\large Ax+3A+Bx-3B=2x+3$

$\large (A+B)x+3A-3B=2x+3$

Следовательно,

$\large \begin{cases}A+B=2 \\ 3A-3B=3 \end{cases}, \begin{cases}A=\frac{3}{2} \\ B=\frac{1}{2} \end{cases}.$

Тогда

$\Large \frac{2x+3}{x^{2}-9}=\frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}.$

Теперь легко вычислить исходный интеграл

$\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx=\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x-3}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+3}=\frac{3}{2}\ln\left|x-3\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x+3\right|+C=$

$\large =\frac{1}{2}\ln\left|(x-3)^{3}(x+3)\right|+C.$

[свернуть]

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Спойлер

Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

$\large \frac{x^{2}-2}{x+1}=x-1-\frac{1}{x+1}$

Получаем

$\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx=\int(x-1-\frac{1}{x+1})dx=\int xdx-\int dx-\int\frac{dx}{x+1}=$

$\large =\frac{x^{2}}{2}-x-\ln\left|x+1\right|+C.$

[свернуть]

Литература:

Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.

Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

Интегрирование рациональных функций

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 2
Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций
- Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
- Разложение знаменателя на простейшие дроби.
- Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
- Интегрирование простейших рациональных дробей.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 2

Выбрать равенства, соответствующие интегралам

Элементы сортировки

$\ln\left | x-a \right |$
$\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
$\frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
$\frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
$\frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

$\int \frac{A}{x-a}dx$

$\int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

$\int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

$\int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

$\int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{»}[/latex]

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция [latex]f(x)[/latex] называется непрерывной слева (справа) в точке [latex]a[/latex], если

[latex]\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a))[/latex].

Теорема

Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a.[/latex]

Спойлер

Пример

Дана функция [latex]f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{ $\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}$ \right.[/latex]

Выяснить существует ли предел в точке [latex]0.[/latex]

Спойлер